Theorem dvcl 24100

Description: The derivative function takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvcl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 24076	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2		eqid 2777	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
3		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
5		dvcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7		dvcl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldv 24099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵))))
9	8	simplbda 495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵))
10	1, 9	sseldi 3818	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3788   ⊆ wss 3791  {csn 4397   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   − cmin 10606   / cdiv 11032   ↾_t crest 16467  TopOpenctopn 16468  ℂ_fldccnfld 20142  intcnt 21229   lim_ℂ climc 24063   D cdv 24064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-topn 16470  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cnp 21440  df-xms 22533  df-ms 22534  df-limc 24067  df-dv 24068

This theorem is referenced by:  perfdvf  24104  dvres  24112  dvres2  24113  dvcnp2  24120  dvaddbr  24138  dvmulbr  24139  dvcobr  24146