MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcl 25821
Description: The derivative function takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvcl ((πœ‘ ∧ 𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)

Proof of Theorem dvcl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25797 . 2 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
2 eqid 2728 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
3 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2728 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡)))
5 dvcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 dvcl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
7 dvcl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 25820 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢 ↔ (𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π΄) ∧ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡))) limβ„‚ 𝐡))))
98simplbda 499 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) / (𝑧 βˆ’ 𝐡))) limβ„‚ 𝐡))
101, 9sselid 3976 1 ((πœ‘ ∧ 𝐡(𝑆 D 𝐹)𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130   βˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895   β†Ύt crest 17395  TopOpenctopn 17396  β„‚fldccnfld 21272  intcnt 22914   limβ„‚ climc 25784   D cdv 25785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-rest 17397  df-topn 17398  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cnp 23125  df-xms 24219  df-ms 24220  df-limc 25788  df-dv 25789
This theorem is referenced by:  perfdvf  25825  dvres  25833  dvres2  25834  dvcnp2  25842  dvcnp2OLD  25843  dvaddbr  25861  dvmulbr  25862  dvmulbrOLD  25863  dvcobr  25870  dvcobrOLD  25871
  Copyright terms: Public domain W3C validator