MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldv 24003
Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
eldv.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
eldv.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
eldv (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐶   𝑧,𝐾   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem eldv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 eldv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 eldv.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 dvval.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
5 dvval.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
64, 5dvfval 24002 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
87simpld 489 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
98eleq2d 2864 . 2 (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
10 df-br 4844 . . 3 (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
1110bicomi 216 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12 sneq 4378 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
1312difeq2d 3926 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
14 fveq2 6411 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1514oveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
16 oveq2 6886 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧𝑥) = (𝑧𝐵))
1715, 16oveq12d 6896 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
1813, 17mpteq12dv 4926 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))))
19 eldv.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
2018, 19syl6eqr 2851 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = 𝐺)
21 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
2220, 21oveq12d 6896 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝐵))
2322opeliunxp2 5464 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵)))
249, 11, 233bitr3g 305 1 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3766  wss 3769  {csn 4368  cop 4374   ciun 4710   class class class wbr 4843  cmpt 4922   × cxp 5310  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cmin 10556   / cdiv 10976  t crest 16396  TopOpenctopn 16397  fldccnfld 20068  intcnt 21150   lim climc 23967   D cdv 23968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-rest 16398  df-topn 16399  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cnp 21361  df-xms 22453  df-ms 22454  df-limc 23971  df-dv 23972
This theorem is referenced by:  dvcl  24004  perfdvf  24008  dvreslem  24014  dvres2lem  24015  dvidlem  24020  dvcnp  24023  dvcnp2  24024  dvaddbr  24042  dvmulbr  24043  dvcobr  24050  dvcjbr  24053  dvrec  24059  dvcnvlem  24080  dveflem  24083  dvferm1  24089  dvferm2  24091  ftc1  24146  taylthlem1  24468  ulmdvlem3  24497  unbdqndv1  33007  ftc1cnnc  33972  fperdvper  40877
  Copyright terms: Public domain W3C validator