Theorem eldv 26245

Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
eldv.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
eldv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eldv	⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐶   𝑧,𝐾   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem eldv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		eldv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		eldv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	dvfval 26244	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
8	7	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
9	8	eleq2d 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
10		df-br 5107	. . 3 ⊢ (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
11	10	bicomi 227	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
13	12	difeq2d 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
14		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
15	14	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
16		oveq2 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐵))
17	15, 16	oveq12d 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
18	13, 17	mpteq12dv 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))))
19		eldv.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
20	18, 19	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = 𝐺)
21		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
22	20, 21	oveq12d 7458	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝐵))
23	22	opeliunxp2 5820	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵)))
24	9, 11, 23	3bitr3g 316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ⟨cop 4838  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   − cmin 11565   / cdiv 11997   ↾_t crest 17617  TopOpenctopn 17618  ℂ_fldccnfld 21705  intcnt 23362   lim_ℂ climc 26209   D cdv 26210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-rest 17619  df-topn 17620  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cnp 23573  df-xms 24666  df-ms 24667  df-limc 26213  df-dv 26214

This theorem is used by:  dvcl  26246  perfdvf  26250  dvreslem  26256  dvres2lem  26257  dvidlem  26262  dvcnp  26266  dvcnp2  26267  dvaddbr  26285  dvmulbr  26286  dvcobr  26293  dvcjbr  26296  dvrec  26302  dvcnvlem  26323  dveflem  26326  dvferm1  26332  dvferm2  26334  ftc1  26389  taylthlem1  26727  ulmdvlem3  26756  unbdqndv1  37551  ftc1cnnc  38801  fperdvper  47132