Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldv 24611
 Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
eldv.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
eldv.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
eldv (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐶   𝑧,𝐾   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem eldv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 eldv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 eldv.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 dvval.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
5 dvval.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
64, 5dvfval 24610 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
87simpld 498 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
98eleq2d 2837 . 2 (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
10 df-br 5037 . . 3 (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
1110bicomi 227 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12 sneq 4535 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
1312difeq2d 4030 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
14 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1514oveq2d 7172 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
16 oveq2 7164 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧𝑥) = (𝑧𝐵))
1715, 16oveq12d 7174 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
1813, 17mpteq12dv 5121 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))))
19 eldv.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
2018, 19eqtr4di 2811 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = 𝐺)
21 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
2220, 21oveq12d 7174 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝐵))
2322opeliunxp2 5684 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵)))
249, 11, 233bitr3g 316 1 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  {csn 4525  ⟨cop 4531  ∪ ciun 4886   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116   × cxp 5526  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586   − cmin 10921   / cdiv 11348   ↾t crest 16766  TopOpenctopn 16767  ℂfldccnfld 20180  intcnt 21731   limℂ climc 24575   D cdv 24576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-rest 16768  df-topn 16769  df-topgen 16789  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cnp 21942  df-xms 23036  df-ms 23037  df-limc 24579  df-dv 24580 This theorem is referenced by:  dvcl  24612  perfdvf  24616  dvreslem  24622  dvres2lem  24623  dvidlem  24628  dvcnp  24632  dvcnp2  24633  dvaddbr  24651  dvmulbr  24652  dvcobr  24659  dvcjbr  24662  dvrec  24668  dvcnvlem  24689  dveflem  24692  dvferm1  24698  dvferm2  24700  ftc1  24755  taylthlem1  25081  ulmdvlem3  25110  unbdqndv1  34272  ftc1cnnc  35444  fperdvper  42972
 Copyright terms: Public domain W3C validator