Theorem eldv 26218

Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
eldv.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
eldv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eldv	⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐶   𝑧,𝐾   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem eldv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		eldv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		eldv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	dvfval 26217	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
8	7	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
9	8	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
10		df-br 5103	. . 3 ⊢ (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
11	10	bicomi 227	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12		sneq 4593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
13	12	difeq2d 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
14		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
15	14	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
16		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐵))
17	15, 16	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
18	13, 17	mpteq12dv 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))))
19		eldv.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
20	18, 19	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = 𝐺)
21		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
22	20, 21	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝐵))
23	22	opeliunxp2 5814	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵)))
24	9, 11, 23	3bitr3g 316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  ⟨cop 4589  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   − cmin 11541   / cdiv 11973   ↾_t crest 17591  TopOpenctopn 17592  ℂ_fldccnfld 21678  intcnt 23335   lim_ℂ climc 26182   D cdv 26183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cnp 23546  df-xms 24639  df-ms 24640  df-limc 26186  df-dv 26187

This theorem is used by:  dvcl  26219  perfdvf  26223  dvreslem  26229  dvres2lem  26230  dvidlem  26235  dvcnp  26239  dvcnp2  26240  dvaddbr  26258  dvmulbr  26259  dvcobr  26266  dvcjbr  26269  dvrec  26275  dvcnvlem  26296  dveflem  26299  dvferm1  26305  dvferm2  26307  ftc1  26362  taylthlem1  26700  ulmdvlem3  26729  unbdqndv1  37374  ftc1cnnc  38611  fperdvper  46929