Theorem eldv 25869

Description: The differentiable predicate. A function 𝐹 is differentiable at 𝐵 with derivative 𝐶 iff 𝐹 is defined in a neighborhood of 𝐵 and the difference quotient has limit 𝐶 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
eldv.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
eldv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
eldv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
eldv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eldv	⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐶   𝑧,𝐾   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem eldv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		eldv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		eldv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	dvfval 25868	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
9	8	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
10		df-br 5124	. . 3 ⊢ (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹))
11	10	bicomi 224	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶)
12		sneq 4616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
13	12	difeq2d 4106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
14		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
15	14	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
16		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐵))
17	15, 16	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
18	13, 17	mpteq12dv 5213	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))))
19		eldv.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
20	18, 19	eqtr4di 2787	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = 𝐺)
21		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
22	20, 21	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝐵))
23	22	opeliunxp2 5829	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵)))
24	9, 11, 23	3bitr3g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ⟨cop 4612  ∪ ciun 4971   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205   × cxp 5663  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135   − cmin 11474   / cdiv 11902   ↾_t crest 17436  TopOpenctopn 17437  ℂ_fldccnfld 21326  intcnt 22971   lim_ℂ climc 25833   D cdv 25834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-rest 17438  df-topn 17439  df-topgen 17459  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-cnfld 21327  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cnp 23182  df-xms 24275  df-ms 24276  df-limc 25837  df-dv 25838

This theorem is referenced by:  dvcl  25870  perfdvf  25874  dvreslem  25880  dvres2lem  25881  dvidlem  25886  dvcnp  25890  dvcnp2  25891  dvcnp2OLD  25892  dvaddbr  25910  dvmulbr  25911  dvmulbrOLD  25912  dvcobr  25919  dvcobrOLD  25920  dvcjbr  25923  dvrec  25929  dvcnvlem  25950  dveflem  25953  dvferm1  25959  dvferm2  25961  ftc1  26019  taylthlem1  26351  ulmdvlem3  26381  unbdqndv1  36468  ftc1cnnc  37658  fperdvper  45891