Theorem dvun 43503

Description: Condition for the union of the derivatives of two disjoint functions to be equal to the derivative of the union of the two functions. If 𝐴 and 𝐵 are open sets, this condition (dvun.n) is satisfied by isopn3i 23405. (Contributed by SN, 30-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvun.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvun.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvun.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
dvun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvun.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvun.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
dvun.n	⊢ (𝜑 → (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
dvun	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)))

Proof of Theorem dvun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundi 5983	. . 3 ⊢ ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = (((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
2		dvun.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
3	2	reseq2d 5969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
4	1, 3	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
5		dvun.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvun.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7		dvun.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
8		dvun.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
9	6, 7, 8	fun2d 6746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
10		dvun.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		dvun.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
12	10, 11	unssd 4190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑆)
13		dvun.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
14		dvun.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
15	13, 14	dvres 26236	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐴)) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
16	5, 9, 12, 10, 15	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐴)) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
17	6	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
18	7	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
19		fnunres1 6651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐴) = 𝐹)
20	17, 18, 8, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐴) = 𝐹)
21	20	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐴)) = (𝑆 D 𝐹))
22	16, 21	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) = (𝑆 D 𝐹))
23	13, 14	dvres 26236	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
24	5, 9, 12, 11, 23	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
25		fnunres2 6652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
26	17, 18, 8, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
27	26	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵)) = (𝑆 D 𝐺))
28	24, 27	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = (𝑆 D 𝐺))
29	22, 28	uneq12d 4168	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)))
30	13, 14	dvres 26236	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑆 ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ (𝐴 ∪ 𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
31	5, 9, 12, 12, 30	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ (𝐴 ∪ 𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
32	9	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Fn (𝐴 ∪ 𝐵))
33		fnresdm 6658	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) Fn (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ (𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝐹 ∪ 𝐺))
34	32, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ (𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝐹 ∪ 𝐺))
35	34	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ (𝐴 ∪ 𝐵))) = (𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)))
36	31, 35	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)))
37	4, 29, 36	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹 ∪ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278   ↾ cres 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   ↾_t crest 17596  TopOpenctopn 17597  ℂ_fldccnfld 21683  intcnt 23340   D cdv 26188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-fz 13643  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-rest 17598  df-topn 17599  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-cnp 23551  df-xms 24644  df-ms 24645  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by:  redvmptabs  43504