Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvun 42389
Description: Condition for the union of the derivatives of two disjoint functions to be equal to the derivative of the union of the two functions. If 𝐴 and 𝐵 are open sets, this condition (dvun.n) is satisfied by isopn3i 23090. (Contributed by SN, 30-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvun.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvun.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvun.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvun.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvun.g (𝜑𝐺:𝐵⟶ℂ)
dvun.a (𝜑𝐴𝑆)
dvun.b (𝜑𝐵𝑆)
dvun.d (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
dvun.n (𝜑 → (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
dvun (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))

Proof of Theorem dvun
StepHypRef Expression
1 resundi 6011 . . 3 ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = (((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
2 dvun.n . . . 4 (𝜑 → (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵)))
32reseq2d 5997 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
41, 3eqtr3id 2791 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
5 dvun.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvun.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 dvun.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵⟶ℂ)
8 dvun.d . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
96, 7, 8fun2d 6772 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
10 dvun.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
11 dvun.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
1210, 11unssd 4192 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
13 dvun.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
14 dvun.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
1513, 14dvres 25946 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑆𝐴𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
165, 9, 12, 10, 15syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
176ffnd 6737 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
187ffnd 6737 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
19 fnunres1 6680 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴) = 𝐹)
2017, 18, 8, 19syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴) = 𝐹)
2120oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴)) = (𝑆 D 𝐹))
2216, 21eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) = (𝑆 D 𝐹))
2313, 14dvres 25946 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
245, 9, 12, 11, 23syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
25 fnunres2 6681 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
2617, 18, 8, 25syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
2726oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵)) = (𝑆 D 𝐺))
2824, 27eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = (𝑆 D 𝐺))
2922, 28uneq12d 4169 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)))
3013, 14dvres 25946 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
315, 9, 12, 12, 30syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
329ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐺) Fn (𝐴𝐵))
33 fnresdm 6687 . . . . 5 ((𝐹𝐺) Fn (𝐴𝐵) → ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐺))
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐺))
3534oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵))) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))
3631, 35eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))
374, 29, 363eqtr3d 2785 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  intcnt 23025   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  redvmptabs  42390
  Copyright terms: Public domain W3C validator