Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvun 42367
Description: Condition for the union of the derivatives of two disjoint functions to be equal to the derivative of the union of the two functions. If 𝐴 and 𝐵 are open sets, this condition (dvun.n) is satisfied by isopn3i 23105. (Contributed by SN, 30-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvun.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvun.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvun.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvun.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvun.g (𝜑𝐺:𝐵⟶ℂ)
dvun.a (𝜑𝐴𝑆)
dvun.b (𝜑𝐵𝑆)
dvun.d (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
dvun.n (𝜑 → (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
dvun (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))

Proof of Theorem dvun
StepHypRef Expression
1 resundi 6013 . . 3 ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = (((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
2 dvun.n . . . 4 (𝜑 → (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵)))
32reseq2d 5999 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ (((int‘𝐽)‘𝐴) ∪ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
41, 3eqtr3id 2788 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
5 dvun.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvun.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 dvun.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵⟶ℂ)
8 dvun.d . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
96, 7, 8fun2d 6772 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
10 dvun.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
11 dvun.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
1210, 11unssd 4201 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
13 dvun.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
14 dvun.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
1513, 14dvres 25960 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑆𝐴𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
165, 9, 12, 10, 15syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
176ffnd 6737 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
187ffnd 6737 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
19 fnunres1 6680 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴) = 𝐹)
2017, 18, 8, 19syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴) = 𝐹)
2120oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐴)) = (𝑆 D 𝐹))
2216, 21eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) = (𝑆 D 𝐹))
2313, 14dvres 25960 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
245, 9, 12, 11, 23syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)))
25 fnunres2 6681 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
2617, 18, 8, 25syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
2726oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ 𝐵)) = (𝑆 D 𝐺))
2824, 27eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵)) = (𝑆 D 𝐺))
2922, 28uneq12d 4178 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ∪ ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝐵))) = ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)))
3013, 14dvres 25960 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐺):(𝐴𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
315, 9, 12, 12, 30syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵))) = ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))))
329ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐺) Fn (𝐴𝐵))
33 fnresdm 6687 . . . . 5 ((𝐹𝐺) Fn (𝐴𝐵) → ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐺))
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐺))
3534oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝐹𝐺) ↾ (𝐴𝐵))) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))
3631, 35eqtr3d 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝐺)) ↾ ((int‘𝐽)‘(𝐴𝐵))) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))
374, 29, 363eqtr3d 2782 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∪ (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  cres 5690   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  intcnt 23040   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-cnp 23251  df-xms 24345  df-ms 24346  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  redvmptabs  42368
  Copyright terms: Public domain W3C validator