Theorem dochkrsm 39068

Description: The subspace sum of a closed subspace and a kernel orthocomplement is closed. (djhlsmcl 39024 can be used to convert sum to join.) (Contributed by NM, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrsm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsm.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochkrsm.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrsm.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrsm.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrsm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dochkrsm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrsm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dochkrsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrsm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrsm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrsm.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochkrsm.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2758	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6		dochkrsm.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dochkrsm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10	dihsmatrn 39046	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ ran 𝐼)
12		oveq2 7164	. . . 4 ⊢ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = {(0g‘𝑈)} → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}))
13	1, 3, 6	dvhlmod 38720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
14		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	1, 3, 2, 14	dihrnlss 38887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 8, 15	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	14	lsssubg 19810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
18	13, 16, 17	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
19		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
20	19, 4	lsm01 18877	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
22	12, 21	sylan9eqr 2815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = 𝑋)
23	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
24	22, 23	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ ran 𝐼)
25		dochkrsm.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
26		dochkrsm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
27		dochkrsm.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
28		dochkrsm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29	1, 25, 3, 19, 5, 26, 27, 6, 28	dochsat0 39067	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = {(0g‘𝑈)}))
30	11, 24, 29	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  ran crn 5529  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0_gc0g 16784  SubGrpcsubg 18353  LSSumclsm 18839  LModclmod 19715  LSubSpclss 19784  LSAtomsclsa 36584  LFnlclfn 36667  LKerclk 36695  HLchlt 36960  LHypclh 37594  DVecHcdvh 38688  DIsoHcdih 38838  ocHcoch 38957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-riotaBAD 36563

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-undef 7955  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-0g 16786  df-proset 17617  df-poset 17635  df-plt 17647  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-p0 17728  df-p1 17729  df-lat 17735  df-clat 17797  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-cntz 18527  df-lsm 18841  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-drng 19585  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-lvec 19956  df-lsatoms 36586  df-lshyp 36587  df-lfl 36668  df-lkr 36696  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-atl 36908  df-cvlat 36932  df-hlat 36961  df-llines 37108  df-lplanes 37109  df-lvols 37110  df-lines 37111  df-psubsp 37113  df-pmap 37114  df-padd 37406  df-lhyp 37598  df-laut 37599  df-ldil 37714  df-ltrn 37715  df-trl 37769  df-tgrp 38353  df-tendo 38365  df-edring 38367  df-dveca 38613  df-disoa 38639  df-dvech 38689  df-dib 38749  df-dic 38783  df-dih 38839  df-doch 38958  df-djh 39005

This theorem is referenced by:  lclkrslem2  39148