Theorem rrndsxmet 45957

Description: 𝐷 is an extended metric for the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrndsxmet.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrndsxmet.2	⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))

Assertion

Ref	Expression
rrndsxmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem rrndsxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrndsxmet.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		rrndsxmet.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑋 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))
3	1, 2	rrndsmet 45956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
4		metxmet 24325	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ↑_m cmap 8844  Fincfn 8963  ℝcr 11145   − cmin 11482  2c2 12310  ↑cexp 14072  √csqrt 15230  Σcsu 15682  ∞Metcxmet 21321  Metcmet 21322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-rp 13020  df-xadd 13138  df-ico 13375  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-seq 14013  df-exp 14073  df-hash 14340  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-clim 15482  df-sum 15683  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17448  df-gsum 17449  df-prds 17454  df-pws 17456  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-mhm 18765  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-cntz 19304  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20309  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-rhm 20447  df-subrng 20521  df-subrg 20546  df-drng 20702  df-field 20703  df-staf 20811  df-srng 20812  df-lmod 20831  df-lss 20902  df-sra 21144  df-rgmod 21145  df-xmet 21329  df-met 21330  df-cnfld 21337  df-refld 21594  df-dsmm 21723  df-frlm 21738  df-nm 24576  df-tng 24578  df-tcph 25182  df-rrx 25398

This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  45958