Theorem ovncl 42411

Description: The Lebesgue outer measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovncl	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem ovncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovncl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnf 42407	. 2 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)⟶(0[,]+∞))
3		ovncl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
4		ovexd 7050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ V)
5	4, 3	ssexd 5119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		elpwg 4461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
8	3, 7	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9	2, 8	ffvelrnd 6717	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4453  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357  ℝcr 10382  0cc0 10383  +∞cpnf 10518  [,]cicc 12591  voln*covoln 42380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-prod 15093  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cmp 21679  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-sumge0 42207  df-ovoln 42381

This theorem is referenced by:  ovnxrcl  42413  ovnsubaddlem1  42414  ovnsubadd  42416  hspmbllem3  42472  hspmbl  42473  ovnsubadd2lem  42489