Theorem ovncl 47309

Description: The Lebesgue outer measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovncl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovncl	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem ovncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovncl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnf 47305	. 2 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
3		ovncl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
4		ovexd 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
5	4, 3	ssexd 5294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		elpwg 4564	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
8	3, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
9	2, 8	ffvelcdmd 7080	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℝcr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  [,]cicc 13381  voln*covoln 47278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-prod 15965  df-rest 17481  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cmp 23555  df-ovol 25634  df-vol 25635  df-sumge0 47105  df-ovoln 47279

This theorem is used by:  ovnxrcl  47311  ovnsubaddlem1  47312  ovnsubadd  47314  hspmbllem3  47370  hspmbl  47371  ovnsubadd2lem  47387