Theorem ovn0 47577

Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ovn0	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)

Proof of Theorem ovn0

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
4		0ss 4350	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) → ∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))
6		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
7	5, 6	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) → (∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
9	7, 8	impbii 212	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ (∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
10	9	rexbii 3110	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
11	10	rgenw 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
12		rabbi 3442	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))) ↔ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))})
13	11, 12	mpbi 233	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
14	1, 3, 13	ovnval2 47556	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )))
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
16	15	iftrued 4490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = 0)
17		iffalse 4491	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ))
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ))
19	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
20		neqne 2964	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
22		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}
23	14, 17	sylan9eq 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘∅) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ))
24	23	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ) = ((voln*‘𝑋)‘∅))
25	1	ovnf 47574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
26		0elpw 5317	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
28	25, 27	ffvelcdmd 7086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) ∈ (0[,]+∞))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘∅) ∈ (0[,]+∞))
30	24, 29	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
31		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ⟨1, 0⟩ = ⟨1, 0⟩)
32	31	cbvmptv 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑗 → (𝑚 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
34	33	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ℕ ↦ (𝑚 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
35	19, 21, 22, 30, 34	ovn0lem 47576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ) = 0)
36	18, 35	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = 0)
37	16, 36	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = 0)
38	14, 37	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3914  ∅c0 4279  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557  ⟨cop 4590  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8848  Xcixp 8926  Fincfn 8974  infcinf 9434  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202  +∞cpnf 11341  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344  ℕcn 12336  [,)cico 13479  [,]cicc 13480  ∏cprod 16073  volcvol 25785  Σ^{^}csumge0 47373  voln*covoln 47547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-prod 16074  df-rest 17594  df-topgen 17615  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-top 23213  df-topon 23230  df-bases 23265  df-cmp 23706  df-ovol 25786  df-vol 25787  df-sumge0 47374  df-ovoln 47548

This theorem is used by:  ovnome  47584  ovnsubadd2lem  47656