Theorem ovn0 47715

Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ovn0	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)

Proof of Theorem ovn0

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		0ss 4352	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
4		0ss 4352	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) → ∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))
6		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
7	5, 6	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) → (∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))
9	7, 8	impbii 212	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ (∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
10	9	rexbii 3112	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
11	10	rgenw 3083	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))))
12		rabbi 3444	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))) ↔ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))})
13	11, 12	mpbi 233	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(∅ ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
14	1, 3, 13	ovnval2 47694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )))
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
16	15	iftrued 4492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = 0)
17		iffalse 4493	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ))
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ))
19	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
20		neqne 2966	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}
23	14, 17	sylan9eq 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘∅) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ))
24	23	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ) = ((voln*‘𝑋)‘∅))
25	1	ovnf 47712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
26		0elpw 5320	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
28	25, 27	ffvelcdmd 7093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) ∈ (0[,]+∞))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘∅) ∈ (0[,]+∞))
30	24, 29	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
31		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ⟨1, 0⟩ = ⟨1, 0⟩)
32	31	cbvmptv 5211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑗 → (𝑚 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) = (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
34	33	cbvmptv 5211	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ℕ ↦ (𝑚 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑙 ∈ 𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
35	19, 21, 22, 30, 34	ovn0lem 47714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < ) = 0)
36	18, 35	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = 0)
37	16, 36	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘))))}, ℝ*, < )) = 0)
38	14, 37	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3415   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559  ⟨cop 4837  ∪ ciun 4953   ↦ cmpt 5188   × cxp 5652   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  Xcixp 8936  Fincfn 8984  infcinf 9443  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211  +∞cpnf 11350  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353  ℕcn 12345  [,)cico 13488  [,]cicc 13489  ∏cprod 16084  volcvol 25796  Σ^{^}csumge0 47511  voln*covoln 47685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-sum 15866  df-prod 16085  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-cmp 23717  df-ovol 25797  df-vol 25798  df-sumge0 47512  df-ovoln 47686

This theorem is used by:  ovnome  47722  ovnsubadd2lem  47794