Theorem xlimclimdm 44504

Description: A sequence of extended reals that converges to a real w.r.t. the standard topology on the extended reals, also converges w.r.t. to the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclimdm.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclimdm.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclimdm.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclimdm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
xlimclimdm.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclimdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem xlimclimdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15431	. 2 ⊢ Rel ⇝
2		xlimclimdm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
3		xlimclimdm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		xlimclimdm.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		xlimclimdm.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		xlimclimdm.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 4, 5, 6	xlimclim2 44490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
8	2, 7	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
9		releldm 5940	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10	1, 8, 9	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5146  dom cdm 5674  Rel wrel 5679  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℝcr 11104  ℝ^*cxr 11242  ℤcz 12553  ℤ_≥cuz 12817   ⇝ cli 15423  ~~>*clsxlim 44468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fl 13752  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-rest 17363  df-topn 17364  df-topgen 17384  df-ordt 17442  df-ps 18514  df-tsr 18515  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-lm 22714  df-xms 23807  df-ms 23808  df-xlim 44469

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  44512