Theorem xlimclimdm 45850

Description: A sequence of extended reals that converges to a real w.r.t. the standard topology on the extended reals, also converges w.r.t. to the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclimdm.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclimdm.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclimdm.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclimdm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
xlimclimdm.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclimdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem xlimclimdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15513	. 2 ⊢ Rel ⇝
2		xlimclimdm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
3		xlimclimdm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		xlimclimdm.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		xlimclimdm.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		xlimclimdm.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 4, 5, 6	xlimclim2 45836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
8	2, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
9		releldm 5929	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10	1, 8, 9	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857   ⇝ cli 15505  ~~>*clsxlim 45814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-ordt 17520  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-lm 23172  df-xms 24264  df-ms 24265  df-xlim 45815

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45858