Theorem xlimclimdm 47079

Description: A sequence of extended reals that converges to a real w.r.t. the standard topology on the extended reals, also converges w.r.t. to the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclimdm.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclimdm.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclimdm.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimclimdm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
xlimclimdm.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclimdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem xlimclimdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15691	. 2 ⊢ Rel ⇝
2		xlimclimdm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
3		xlimclimdm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		xlimclimdm.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		xlimclimdm.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		xlimclimdm.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 4, 5, 6	xlimclim2 47065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
8	2, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
9		releldm 5934	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10	1, 8, 9	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  Rel wrel 5661  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  ℝ^*cxr 11372  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995   ⇝ cli 15683  ~~>*clsxlim 47043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-rest 17625  df-topn 17626  df-topgen 17646  df-ordt 17705  df-ps 18772  df-tsr 18773  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-lm 23580  df-xms 24672  df-ms 24673  df-xlim 47044

This theorem is used by:  xlimliminflimsup  47087