Theorem log2ublem2 16183

Description: Lemma for log2ublog2 16185. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
log2ublem2.1	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5	⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6	⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8	⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9	⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
log2ublem2	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ublem2.1	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2		0zd 9661	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		log2ublem2.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
4		log2ublem2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 9671	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
6		peano2zm 9687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℤ
8	3, 7	eqeltrri 2312	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10	2, 9	fzfigd 10883	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
11		elfznn0 10532	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
13		2re 9377	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3nn 9472	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		2nn0 9585	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		nn0mulcl 9604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
17	15, 16	mpan 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
18		nn0p1nn 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
20		nnmulcl 9328	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
21	14, 19, 20	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
22		9nn 9478	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
23		nnexpcl 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
24	22, 23	mpan 428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
25	21, 24	nnmulcld 9356	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
26		nndivre 9343	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
27	13, 25, 26	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
28	12, 27	syl 14	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
29	10, 28	fsumrecl 12187	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
30	29	mptru 1411	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
31	15, 4	nn0mulcli 9606	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
32		nn0p1nn 9607	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
34	14, 33	nnmulcli 9329	. . 3 ⊢ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
35		nnexpcl 11004	. . . 4 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
36	22, 4, 35	mp2an 430	. . 3 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℕ
37	34, 36	nnmulcli 9329	. 2 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
38		log2ublem2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
39	15, 38	nn0mulcli 9606	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
40		log2ublem2.3	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
41	15, 40	nn0mulcli 9606	. 2 ⊢ (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
42		nn0uz 9967	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
43	4, 42	eleqtri 2313	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
44	43	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
45		elfznn0 10532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
46	45	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
47	27	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
48	46, 47	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
49		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
50	49	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
51	50	oveq2d 6101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
52		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
53	51, 52	oveq12d 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
54	53	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55	44, 48, 54	fsumm1 12202	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
56	55	mptru 1411	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
57	3	oveq2i 6096	. . . . 5 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
58	57	sumeq1i 12148	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
59	58	oveq1i 6095	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
60	56, 59	eqtri 2259	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
61		2cn 9378	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
62	38	nn0cni 9580	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
63	40	nn0cni 9580	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
64	61, 62, 63	adddii 8337	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
65		log2ublem2.6	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
66	65	oveq2i 6096	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
67	64, 66	eqtr3i 2261	. 2 ⊢ ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
68		7nn 9476	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
69	68	nnnn0i 9576	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
70		nnexpcl 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
71	14, 69, 70	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
72		5nn 9474	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
73	72, 68	nnmulcli 9329	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
74	71, 73	nnmulcli 9329	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
75	74	nnrei 9316	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
76	75, 13	remulcli 8341	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
77	76	leidi 8815	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
78	14	nnnn0i 9576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
79		nnexpcl 11004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
80	22, 78, 79	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) ∈ ℕ
81	80	nncni 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) ∈ ℂ
82	73	nncni 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
83	81, 82	mulcomi 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
84		log2ublem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
85		log2ublem2.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
86	85	nn0cni 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
87	4	nn0cni 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
88	86, 87	addcomi 8472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
89	84, 88	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (𝑁 + 𝑀)
90	89	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
91	22	nncni 9317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
92		expadd 11033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
93	91, 4, 85, 92	mp3an 1378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
94	90, 93	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
95	94	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
96	36	nncni 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℂ
97		nnexpcl 11004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
98	22, 85, 97	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℕ
99	98	nncni 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℂ
100	82, 96, 99	mul12i 8474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
101	83, 95, 100	3eqtri 2263	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
102		log2ublem2.9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
103	102	oveq2i 6096	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
104	101, 103	eqtri 2259	. . . . . . 7 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
105	104	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
106		df-7 9371	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 = (6 + 1)
107	106	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = (3↑(6 + 1))
108		3cn 9382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
109		6nn0 9589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
110		expp1 10998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
111	108, 109, 110	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
112		expmul 11036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
113	108, 15, 78, 112	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
114	61, 108	mulcomi 8333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
115		3t2e6 9464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
116	114, 115	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = 6
117	116	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
118		sq3 11088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑2) = 9
119	118	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3↑2)↑3) = (9↑3)
120	113, 117, 119	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = (9↑3)
121	120	oveq1i 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
122	111, 121	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
123	81, 108	mulcomi 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
124	107, 122, 123	3eqtri 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) = (3 · (9↑3))
125	124	oveq1i 6095	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
126	108, 81, 82	mulassi 8336	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
127	125, 126	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
128	33	nncni 9317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
129	108, 128, 96	mul32i 8475	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
130	129	oveq1i 6095	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
131	108, 96	mulcli 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
132	131, 128, 63	mulassi 8336	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
133	128, 63	mulcli 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
134	108, 96, 133	mulassi 8336	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
135	130, 132, 134	3eqtri 2263	. . . . . 6 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
136	105, 127, 135	3eqtr4i 2269	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
137	136	oveq2i 6096	. . . 4 ⊢ (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
138	71	nncni 9317	. . . . . 6 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
139	138, 82	mulcli 8332	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
140	139, 61	mulcomi 8333	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
141	37	nncni 9317	. . . . 5 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
142	141, 61, 63	mul12i 8474	. . . 4 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
143	137, 140, 142	3eqtr4i 2269	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
144	77, 143	breqtri 4155	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
145	1, 30, 15, 37, 39, 41, 60, 67, 144	log2ublem1 16182	1 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185   ≤ cle 8362   − cmin 8499   / cdiv 9005  ℕcn 9307  2c2 9358  3c3 9359  5c5 9361  6c6 9362  7c7 9363  9c9 9365  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422  ↑cexp 10990  Σcsu 12138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139

This theorem is used by:  log2ublem3  16184