Theorem logdivlt 16141

Description: The log𝑥 / 𝑥 function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
logdivlt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))

Proof of Theorem logdivlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logdivlti 16128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))
2	1	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
3	2	3expa 1234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ e ≤ 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
4	3	an32s 574	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
5	4	adantrr 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
6		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		0red 8333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
9		ere 12461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → e ∈ ℝ)
11		epos 12572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < e
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 0 < e)
13		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → e ≤ 𝐴)
14	8, 10, 7, 12, 13	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 0 < 𝐴)
15	7, 14	elrpd 10110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
16	15	relogcld 16129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 8360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mulridd 8349	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → ((log‘𝐴) · 1) = (log‘𝐴))
20		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1)
21		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		0red 8333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
23	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → e ∈ ℝ)
24	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 0 < e)
25		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → e ≤ 𝐵)
26	22, 23, 21, 24, 25	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 0 < 𝐵)
27	21, 26	elrpd 10110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
28	27	relogcld 16129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
29	28	recnd 8360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
31		1cnd 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → 1 ∈ ℂ)
32		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → e ≤ 𝐴)
33	22, 23, 6, 24, 32	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 0 < 𝐴)
34	6, 33	elrpd 10110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
35	34	relogcld 16129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
36		1red 8347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
37		2re 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
39		1lt2 9485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 1 < 2)
41		egt2lt3 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
42	41	simpli 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < e
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 2 < e)
44	38, 23, 6, 43, 32	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 2 < 𝐴)
45	36, 38, 6, 40, 44	lttrd 8459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 1 < 𝐴)
46		loggt0b 16138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
47	34, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
48	45, 47	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 0 < (log‘𝐴))
49	35, 48	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (log‘𝐴) # 0)
50	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → (log‘𝐴) # 0)
51	30, 18, 31, 50	apdivmuld 9151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → (((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1 ↔ ((log‘𝐴) · 1) # (log‘𝐵)))
52	20, 51	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → ((log‘𝐴) · 1) # (log‘𝐵))
53	19, 52	eqbrtrrd 4155	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → (log‘𝐴) # (log‘𝐵))
54	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
55	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
56		simplrr 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → e ≤ 𝐵)
57	8, 10, 55, 12, 56	ltletrd 8758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 0 < 𝐵)
58	55, 57	elrpd 10110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
59	58	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
60		reaplog 16114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (log‘𝐴) # (log‘𝐵)))
61	54, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (log‘𝐴) # (log‘𝐵)))
62	53, 61	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1) → 𝐴 # 𝐵)
63	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
64	63	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
65	64	mulridd 8349	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
66		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → (𝐵 / 𝐴) # 1)
67	55	recnd 8360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
69		1cnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → 1 ∈ ℂ)
70	6, 33	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → 𝐴 # 0)
71	70	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → 𝐴 # 0)
72	68, 64, 69, 71	apdivmuld 9151	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → ((𝐵 / 𝐴) # 1 ↔ (𝐴 · 1) # 𝐵))
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → (𝐴 · 1) # 𝐵)
74	65, 73	eqbrtrrd 4155	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∧ (𝐵 / 𝐴) # 1) → 𝐴 # 𝐵)
75	58	relogcld 16129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
76	48	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 0 < (log‘𝐴))
77	16, 76	elrpd 10110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
78	75, 77	rerpdivcld 10145	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	55, 15	rerpdivcld 10145	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
80		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))
81	75, 15, 16, 58	lt2mul2divd 10182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (((log‘𝐵) · 𝐴) < ((log‘𝐴) · 𝐵) ↔ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
82	80, 81	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) · 𝐴) < ((log‘𝐴) · 𝐵))
83	17, 67	mulcomd 8353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐴) · 𝐵) = (𝐵 · (log‘𝐴)))
84	82, 83	breqtrd 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) · 𝐴) < (𝐵 · (log‘𝐴)))
85	75, 15, 55, 77	lt2mul2divd 10182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (((log‘𝐵) · 𝐴) < (𝐵 · (log‘𝐴)) ↔ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) < (𝐵 / 𝐴)))
86	84, 85	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) < (𝐵 / 𝐴))
87	78, 79, 86	ltapd 8974	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # (𝐵 / 𝐴))
88	78	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
89	79	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
90		1cnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
91		apcotr 8943	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # (𝐵 / 𝐴) → (((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1 ∨ (𝐵 / 𝐴) # 1)))
92	88, 89, 90, 91	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # (𝐵 / 𝐴) → (((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1 ∨ (𝐵 / 𝐴) # 1)))
93	87, 92	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) # 1 ∨ (𝐵 / 𝐴) # 1))
94	62, 74, 93	mpjaodan 810	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐴 # 𝐵)
95	7	recnd 8360	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
96		apsym 8942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
97	95, 67, 96	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
98	94, 97	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐵 # 𝐴)
99	75, 58	rerpdivcld 10145	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐵) / 𝐵) ∈ ℝ)
100	16, 15	rerpdivcld 10145	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
101	99, 100, 80	ltnsymd 8453	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ¬ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵))
102		logdivlti 16128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵))
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)))
104	103	con3d 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → (¬ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
105	55, 7, 56, 104	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (¬ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
106	101, 105	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
107	6, 21	lenltd 8451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
108	107	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
109	106, 108	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
110	7, 55, 109	leltapd 8975	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 # 𝐴))
111	98, 110	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) ∧ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)) → 𝐴 < 𝐵)
112	111	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
113	5, 112	impbid 129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   # cap 8917   / cdiv 9010  2c2 9364  3c3 9365  ℝ⁺crp 10070  eceu 12434  logclog 16102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-pm 6930  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-q 10035  df-rp 10071  df-xneg 10190  df-xadd 10191  df-ioo 10310  df-ico 10312  df-icc 10313  df-fz 10428  df-fzo 10566  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-fac 11185  df-bc 11207  df-ihash 11236  df-shft 11601  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-clim 12069  df-sumdc 12144  df-ef 12439  df-e 12440  df-rest 13653  df-topgen 13672  df-psmet 14988  df-xmet 14989  df-met 14990  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-top 15241  df-topon 15254  df-bases 15286  df-ntr 15339  df-cn 15431  df-cnp 15432  df-tx 15496  df-cncf 15814  df-limced 15899  df-dvap 15900  df-relog 16104

This theorem is used by:  logdivle  16142  bposlem7  16334