Theorem cramerimplem1 20895

Description: Lemma 1 for cramerimp 20899: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimplem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramerimplem1.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	anim2i 610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3	2	ancomd 455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
4	3	3adant3 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
5		simp3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	anim1i 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
7		cramerimplem1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
8		cramerimplem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9	8	fveq2i 6449	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
10		cramerimplem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
11	7, 9, 10	1marepvmarrepid 20786	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
12	4, 6, 11	syl2an2r 675	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
13	12	eqcomd 2784	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼))
14	13	fveq2d 6450	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
15		cramerimplem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
17	16	fveq1d 6448	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
18		simpl2 1201	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
19	6	ancomd 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
20	8	eqcomi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
21	20	fveq2i 6449	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
22		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
23	8, 21, 7, 22	ma1repvcl 20781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
24	4, 19, 23	syl2an2r 675	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
25	10, 24	syl5eqel 2863	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
26	5	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
27		elmapi 8162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
28		ffvelrn 6621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
29	28	ex 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
31	30, 7	eleq2s 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
33	32	3ad2ant3 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	imp 397	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
35		smadiadetr 20887	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
36	18, 25, 26, 34, 35	syl22anc 829	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
37	17, 36	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
38	7, 9, 10	1marepvsma1 20794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
39	4, 6, 38	syl2an2r 675	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
40	39	fveq2d 6450	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
41	40	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
42		diffi 8480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
43	42	anim1i 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
44	43	ancomd 455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
45	44	3adant3 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46	45	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
47		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
48		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
49		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
50		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
51	47, 48, 49, 50	mdet1 20812	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
52	46, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
53	52	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
54	1	3ad2ant2 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
55		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
56		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
57	55, 56, 50	ringridm 18959	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
58	54, 34, 57	syl2an2r 675	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
59	41, 53, 58	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍‘𝐼))
60	14, 37, 59	3eqtrd 2818	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789  {csn 4398  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935   Mat cmat 20617   matRRep cmarrep 20767   matRepV cmatrepV 20768   subMat csubma 20787   maDet cmdat 20795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-reverse 13905  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-symg 18181  df-pmtr 18245  df-psgn 18294  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mamu 20594  df-mat 20618  df-marrep 20769  df-marepv 20770  df-subma 20788  df-mdet 20796  df-minmar1 20846

This theorem is referenced by:  cramerimp  20899