Theorem cramerimplem1 22631

Description: Lemma 1 for cramerimp 22634: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimplem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimplem1.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3	2	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
4	3	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
5		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
7		cramerimplem1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8		cramerimplem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9	8	fveq2i 6838	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
10		cramerimplem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
11	7, 9, 10	1marepvmarrepid 22523	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
12	4, 6, 11	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
13	12	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼))
14	13	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
15		cramerimplem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
17	16	fveq1d 6837	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
18		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
19	5	anim1ci 617	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
20	8	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
21	20	fveq2i 6838	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
23	8, 21, 7, 22	ma1repvcl 22518	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
24	4, 19, 23	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
25	10, 24	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
26	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
27		elmapi 8790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
28		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
29	28	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
31	30, 7	eleq2s 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
33	32	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
35		smadiadetr 22623	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
36	18, 25, 26, 34, 35	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
37	17, 36	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
38	7, 9, 10	1marepvsma1 22531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
39	4, 6, 38	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
40	39	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
41	40	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
42		diffi 9103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
43	42	anim1ci 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
44	43	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
47		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
48		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
49		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
50	46, 47, 48, 49	mdet1 22549	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
51	45, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
53	1	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
54		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
55		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	54, 55, 49	ringridm 20209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
57	53, 34, 56	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
58	41, 52, 57	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍‘𝐼))
59	14, 37, 58	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3899  {csn 4581  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   Mat cmat 22355   matRRep cmarrep 22504   matRepV cmatrepV 22505   subMat csubma 22524   maDet cmdat 22532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-concat 14498  df-s1 14524  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-splice 14677  df-reverse 14686  df-s2 14775  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-efmnd 18798  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-symg 19303  df-pmtr 19375  df-psgn 19424  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-dsmm 21691  df-frlm 21706  df-mamu 22339  df-mat 22356  df-marrep 22506  df-marepv 22507  df-subma 22525  df-mdet 22533  df-minmar1 22583

This theorem is referenced by:  cramerimp  22634