Theorem cramerimplem1 22626

Description: Lemma 1 for cramerimp 22629: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimplem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimplem1.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3	2	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
4	3	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
5		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
7		cramerimplem1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8		cramerimplem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9	8	fveq2i 6835	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
10		cramerimplem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
11	7, 9, 10	1marepvmarrepid 22518	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
12	4, 6, 11	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
13	12	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼))
14	13	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
15		cramerimplem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
17	16	fveq1d 6834	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
18		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
19	5	anim1ci 617	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
20	8	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
21	20	fveq2i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
23	8, 21, 7, 22	ma1repvcl 22513	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
24	4, 19, 23	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
25	10, 24	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
26	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
27		elmapi 8787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
28		ffvelcdm 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
29	28	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
31	30, 7	eleq2s 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
33	32	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
35		smadiadetr 22618	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
36	18, 25, 26, 34, 35	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
37	17, 36	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
38	7, 9, 10	1marepvsma1 22526	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
39	4, 6, 38	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
40	39	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
41	40	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
42		diffi 9100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
43	42	anim1ci 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
44	43	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
47		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
48		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
49		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
50	46, 47, 48, 49	mdet1 22544	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
51	45, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
53	1	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
54		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
55		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	54, 55, 49	ringridm 20209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
57	53, 34, 56	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
58	41, 52, 57	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍‘𝐼))
59	14, 37, 58	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   Mat cmat 22350   matRRep cmarrep 22499   matRepV cmatrepV 22500   subMat csubma 22519   maDet cmdat 22527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-word 14438  df-lsw 14487  df-concat 14495  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14772  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-efmnd 18795  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-symg 19303  df-pmtr 19375  df-psgn 19424  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-mamu 22334  df-mat 22351  df-marrep 22501  df-marepv 22502  df-subma 22520  df-mdet 22528  df-minmar1 22578

This theorem is referenced by:  cramerimp  22629