Theorem cramerimplem1 22586

Description: Lemma 1 for cramerimp 22589: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimplem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimplem1.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3	2	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
4	3	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
5		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
7		cramerimplem1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8		cramerimplem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9	8	fveq2i 6829	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
10		cramerimplem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
11	7, 9, 10	1marepvmarrepid 22478	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
12	4, 6, 11	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
13	12	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼))
14	13	fveq2d 6830	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
15		cramerimplem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
17	16	fveq1d 6828	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
18		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
19	5	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
20	8	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
21	20	fveq2i 6829	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
23	8, 21, 7, 22	ma1repvcl 22473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
24	4, 19, 23	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
25	10, 24	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
26	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
27		elmapi 8783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
28		ffvelcdm 7019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
29	28	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
31	30, 7	eleq2s 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
33	32	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
35		smadiadetr 22578	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
36	18, 25, 26, 34, 35	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
37	17, 36	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
38	7, 9, 10	1marepvsma1 22486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
39	4, 6, 38	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
40	39	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
41	40	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
42		diffi 9099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
43	42	anim1ci 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
44	43	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
47		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
48		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
49		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
50	46, 47, 48, 49	mdet1 22504	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
51	45, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
53	1	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
54		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
55		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	54, 55, 49	ringridm 20173	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
57	53, 34, 56	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
58	41, 52, 57	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍‘𝐼))
59	14, 37, 58	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   Mat cmat 22310   matRRep cmarrep 22459   matRepV cmatrepV 22460   subMat csubma 22479   maDet cmdat 22487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-symg 19267  df-pmtr 19339  df-psgn 19388  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mamu 22294  df-mat 22311  df-marrep 22461  df-marepv 22462  df-subma 22480  df-mdet 22488  df-minmar1 22538

This theorem is referenced by:  cramerimp  22589