Theorem cramerimplem1 22712

Description: Lemma 1 for cramerimp 22715: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimplem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimplem1.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	anim2i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3	2	ancomd 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
4	3	3adant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
5		simp3 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	anim1i 623	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
7		cramerimplem1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8		cramerimplem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9	8	fveq2i 6855	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
10		cramerimplem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
11	7, 9, 10	1marepvmarrepid 22604	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
12	4, 6, 11	syl2an2r 693	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼) = 𝐸)
13	12	eqcomd 2758	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼))
14	13	fveq2d 6856	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
15		cramerimplem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
17	16	fveq1d 6854	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)))
18		simpl2 1202	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
19	5	anim1ci 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
20	8	eqcomi 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
21	20	fveq2i 6855	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
22		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
23	8, 21, 7, 22	ma1repvcl 22599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
24	4, 19, 23	syl2an2r 693	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
25	10, 24	eqeltrid 2856	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
26	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
27		elmapi 8815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
28		ffvelcdm 7047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
29	28	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
31	30, 7	eleq2s 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
33	32	3ad2ant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
35		smadiadetr 22704	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
36	18, 25, 26, 34, 35	syl22anc 847	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
37	17, 36	eqtrd 2787	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍‘𝐼))𝐼)) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
38	7, 9, 10	1marepvsma1 22612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
39	4, 6, 38	syl2an2r 693	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
40	39	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
41	40	oveq2d 7397	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
42		diffi 9128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
43	42	anim1ci 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
44	43	3adant3 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
45	44	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
47		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
48		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
49		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
50	46, 47, 48, 49	mdet1 22630	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
51	45, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq2d 7397	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
53	1	3ad2ant2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
54		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
55		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	54, 55, 49	ringridm 20288	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
57	53, 34, 56	syl2an2r 693	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑍‘𝐼))
58	41, 52, 57	3eqtrd 2791	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑍‘𝐼)(.r‘𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍‘𝐼))
59	14, 37, 58	3eqtrd 2791	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝐸) = (𝑍‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ∖ cdif 3892  {csn 4572  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ↑_m cmap 8792  Fincfn 8912  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   Mat cmat 22436   matRRep cmarrep 22585   matRepV cmatrepV 22586   subMat csubma 22605   maDet cmdat 22613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-xor 1522  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-word 14513  df-lsw 14562  df-concat 14570  df-s1 14596  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-splice 14749  df-reverse 14758  df-s2 14847  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-efmnd 18875  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-gim 19271  df-cntz 19329  df-oppg 19358  df-symg 19382  df-pmtr 19454  df-psgn 19503  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-drng 20749  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-cnfld 21394  df-zring 21468  df-zrh 21524  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mamu 22420  df-mat 22437  df-marrep 22587  df-marepv 22588  df-subma 22606  df-mdet 22614  df-minmar1 22664

This theorem is referenced by:  cramerimp  22715