MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem1 22507
Description: Lemma 1 for cramerimp 22510: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimplem1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimplem1.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷𝐸) = (𝑍𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1
StepHypRef Expression
1 crngring 20140 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21anim2i 616 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32ancomd 461 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
433adant3 1129 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
5 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
65anim1i 614 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐼𝑁𝑍𝑉))
7 cramerimplem1.v . . . . . 6 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
8 cramerimplem1.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
98fveq2i 6884 . . . . . 6 (1r𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
10 cramerimplem1.e . . . . . 6 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
117, 9, 101marepvmarrepid 22399 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼𝑁𝑍𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼) = 𝐸)
124, 6, 11syl2an2r 682 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼) = 𝐸)
1312eqcomd 2730 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼))
1413fveq2d 6885 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)))
15 cramerimplem1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
1716fveq1d 6883 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)))
18 simpl2 1189 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
195anim1ci 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑍𝑉𝐼𝑁))
208eqcomi 2733 . . . . . . . 8 (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
2120fveq2i 6884 . . . . . . 7 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
22 eqid 2724 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
238, 21, 7, 22ma1repvcl 22394 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
244, 19, 23syl2an2r 682 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
2510, 24eqeltrid 2829 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
265adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐼𝑁)
27 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
28 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . 10 ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼𝑁) → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
2928ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼𝑁 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝐼𝑁 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3130, 7eleq2s 2843 . . . . . . 7 (𝑍𝑉 → (𝐼𝑁 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3231com12 32 . . . . . 6 (𝐼𝑁 → (𝑍𝑉 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
33323ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑍𝑉 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3433imp 406 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
35 smadiadetr 22499 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼𝑁 ∧ (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
3618, 25, 26, 34, 35syl22anc 836 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
3717, 36eqtrd 2764 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
387, 9, 101marepvsma1 22407 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼𝑁𝑍𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
394, 6, 38syl2an2r 682 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
4039fveq2d 6885 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
4140oveq2d 7417 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
42 diffi 9175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
4342anim1ci 615 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
44433adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
4544adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46 eqid 2724 . . . . . 6 ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
47 eqid 2724 . . . . . 6 ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
48 eqid 2724 . . . . . 6 (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
49 eqid 2724 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5046, 47, 48, 49mdet1 22425 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r𝑅))
5145, 50syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r𝑅))
5251oveq2d 7417 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(1r𝑅)))
5313ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
54 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
55 eqid 2724 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5654, 55, 49ringridm 20159 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑍𝐼))
5753, 34, 56syl2an2r 682 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑍𝐼))
5841, 52, 573eqtrd 2768 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍𝐼))
5914, 37, 583eqtrd 2768 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷𝐸) = (𝑍𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3937  {csn 4620  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   Mat cmat 22229   matRRep cmarrep 22380   matRepV cmatrepV 22381   subMat csubma 22400   maDet cmdat 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-efmnd 18784  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-mamu 22208  df-mat 22230  df-marrep 22382  df-marepv 22383  df-subma 22401  df-mdet 22409  df-minmar1 22459
This theorem is referenced by:  cramerimp  22510
  Copyright terms: Public domain W3C validator