Theorem log1 24838

Description: The natural logarithm of 1. One case of Property 1a of [Cohen] p. 301. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
log1	⊢ (log‘1) = 0

Proof of Theorem log1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef0 15265	. 2 ⊢ (exp‘0) = 1
2		1rp 12232	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		0re 10478	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		relogeftb 24837	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((log‘1) = 0 ↔ (exp‘0) = 1))
5	2, 3, 4	mp2an 688	. 2 ⊢ ((log‘1) = 0 ↔ (exp‘0) = 1)
6	1, 5	mpbir 232	1 ⊢ (log‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ‘cfv 6217  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373  ℝ⁺crp 12228  expce 15236  logclog 24807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-mod 13076  df-seq 13208  df-exp 13268  df-fac 13472  df-bc 13501  df-hash 13529  df-shft 14248  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-ef 15242  df-sin 15244  df-cos 15245  df-pi 15247  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-lp 21416  df-perf 21417  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-haus 21595  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cncf 23157  df-limc 24135  df-dv 24136  df-log 24809

This theorem is referenced by:  logm1  24841  logfac  24853  rplogcl  24856  logge0  24857  logge0b  24883  loggt0b  24884  logtayl  24912  1cxp  24924  loglesqrt  25008  logb1  25016  efrlim  25217  emcllem5  25247  emcllem7  25249  harmonicbnd3  25255  lgamgulmlem2  25277  lgamgulmlem5  25280  lgambdd  25284  lgamcvg2  25302  lgam1  25311  prmorcht  25425  vmalelog  25451  pclogsum  25461  logfacubnd  25467  logfacbnd3  25469  logfacrlim  25470  logexprlim  25471  chebbnd1lem1  25715  rpvmasumlem  25733  dchrvmasumlem2  25744  dchrvmasumiflem1  25747  dchrisum0fno1  25757  dchrisum0re  25759  dirith2  25774  mulog2sumlem2  25781  log2sumbnd  25790  selberg2lem  25796  chpdifbndlem1  25799  chpdifbndlem2  25800  logdivbnd  25802  pntrlog2bndlem5  25827  pntlemn  25846  pntlemj  25849  pntlemk  25852  ostth3  25884  xrge0iifcnv  30749  xrge0iif1  30754  reglogltb  38924  reglogleb  38925  reglog1  38929  regt1loggt0  44031