Theorem log1 26565

Description: The natural logarithm of 1. One case of Property 1a of [Cohen] p. 301. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
log1	⊢ (log‘1) = 0

Proof of Theorem log1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef0 16045	. 2 ⊢ (exp‘0) = 1
2		1rp 12935	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		0re 11135	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		relogeftb 26564	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((log‘1) = 0 ↔ (exp‘0) = 1))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ ((log‘1) = 0 ↔ (exp‘0) = 1)
6	1, 5	mpbir 231	1 ⊢ (log‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028  ℝ⁺crp 12931  expce 16015  logclog 26534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-lp 23110  df-perf 23111  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-haus 23289  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-limc 25842  df-dv 25843  df-log 26536

This theorem is referenced by:  logm1  26569  logfac  26581  rplogcl  26584  logge0  26585  logge0b  26611  loggt0b  26612  logtayl  26640  1cxp  26652  loglesqrt  26742  logb1  26750  efrlim  26950  efrlimOLD  26951  emcllem5  26981  emcllem7  26983  harmonicbnd3  26989  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem5  27014  lgambdd  27018  lgamcvg2  27036  lgam1  27045  prmorcht  27159  vmalelog  27187  pclogsum  27197  logfacubnd  27203  logfacbnd3  27205  logfacrlim  27206  logexprlim  27207  chebbnd1lem1  27451  rpvmasumlem  27469  dchrvmasumlem2  27480  dchrvmasumiflem1  27483  dchrisum0fno1  27493  dchrisum0re  27495  dirith2  27510  mulog2sumlem2  27517  log2sumbnd  27526  selberg2lem  27532  chpdifbndlem1  27535  chpdifbndlem2  27536  logdivbnd  27538  pntrlog2bndlem5  27563  pntlemn  27582  pntlemj  27585  pntlemk  27588  ostth3  27620  xrge0iifcnv  34098  xrge0iif1  34103  reglogltb  43334  reglogleb  43335  reglog1  43339  regt1loggt0  49009