Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks4d1 41260
Description: Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of 𝑁 that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that 𝑁 is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree 𝐡. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
aks4d1.2 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡)((𝑁 gcd π‘Ÿ) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ÿ   𝑁,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ
Proof of Theorem aks4d1
Dummy variables π‘Ž β„Ž π‘˜ 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
2 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Ž β†’ (𝑁↑𝑏) = (π‘β†‘π‘Ž))
32oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1) = ((π‘β†‘π‘Ž) βˆ’ 1))
43cbvprodv 15864 . . . . 5 βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1) = βˆπ‘Ž ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘Ž) βˆ’ 1)
54oveq2i 7422 . . . 4 ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1)) = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘Ž ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘Ž) βˆ’ 1))
6 aks4d1.2 . . . 4 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
7 id 22 . . . . . . . 8 (β„Ž = π‘˜ β†’ β„Ž = π‘˜)
8 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑁↑𝑐) = (𝑁↑𝑏))
98oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1) = ((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))
109cbvprodv 15864 . . . . . . . . . 10 βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1) = βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1)
1110oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1)) = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (β„Ž = π‘˜ β†’ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1)) = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1)))
137, 12breq12d 5161 . . . . . . 7 (β„Ž = π‘˜ β†’ (β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1)) ↔ π‘˜ βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))))
1413notbid 317 . . . . . 6 (β„Ž = π‘˜ β†’ (Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1)) ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))))
1514cbvrabv 3442 . . . . 5 {β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))} = {π‘˜ ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ π‘˜ βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))}
1615infeq1i 9475 . . . 4 inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ) = inf({π‘˜ ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ π‘˜ βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))}, ℝ, < )
171, 5, 6, 16aks4d1p4 41250 . . 3 (πœ‘ β†’ (inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐡) ∧ Β¬ inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ) βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) βˆ’ 1))))
1817simpld 495 . 2 (πœ‘ β†’ inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐡))
19 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ) β†’ (𝑁 gcd π‘Ÿ) = (𝑁 gcd inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )))
2019adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) β†’ (𝑁 gcd π‘Ÿ) = (𝑁 gcd inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )))
2120eqeq1d 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) β†’ ((𝑁 gcd π‘Ÿ) = 1 ↔ (𝑁 gcd inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) = 1))
22 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ) β†’ (odβ„€β€˜π‘Ÿ) = (odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )))
2322adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) β†’ (odβ„€β€˜π‘Ÿ) = (odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )))
2423fveq1d 6893 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) β†’ ((odβ„€β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘) = ((odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ))β€˜π‘))
2524breq2d 5160 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) β†’ (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ))β€˜π‘)))
2621, 25anbi12d 631 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) β†’ (((𝑁 gcd π‘Ÿ) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘)) ↔ ((𝑁 gcd inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ))β€˜π‘))))
271, 5, 6, 16aks4d1p8 41258 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 gcd inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) = 1)
281, 5, 6, 16aks4d1p9 41259 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ))β€˜π‘))
2927, 28jca 512 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 gcd inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜inf({β„Ž ∈ (1...𝐡) ∣ Β¬ β„Ž βˆ₯ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) βˆ’ 1))}, ℝ, < ))β€˜π‘)))
3018, 26, 29rspcedvd 3614 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡)((𝑁 gcd π‘Ÿ) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odβ„€β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  5c5 12274  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  βŒˆcceil 13760  β†‘cexp 14031  βˆcprod 15853   βˆ₯ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  odβ„€codz 16700   logb clogb 26493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-lcm 16531  df-lcmf 16532  df-prm 16613  df-odz 16702  df-phi 16703  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361  df-itg2 25362  df-ibl 25363  df-itg 25364  df-0p 25411  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-cxp 26290  df-logb 26494
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator