Theorem aks4d1 42746

Description: Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of 𝑁 that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that 𝑁 is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree 𝐵. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟

Proof of Theorem aks4d1

Dummy variables 𝑎 ℎ 𝑘 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁↑𝑏) = (𝑁↑𝑎))
3	2	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑁↑𝑏) − 1) = ((𝑁↑𝑎) − 1))
4	3	cbvprodv 15968	. . . . 5 ⊢ ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1) = ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1)
5	4	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1))
6		aks4d1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ℎ = 𝑘)
8		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑁↑𝑐) = (𝑁↑𝑏))
9	8	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑁↑𝑐) − 1) = ((𝑁↑𝑏) − 1))
10	9	cbvprodv 15968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1) = ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)
11	10	oveq2i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)))
13	7, 12	breq12d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
14	13	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
15	14	cbvrabv 3433	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))} = {𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}
16	15	infeq1i 9439	. . . 4 ⊢ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}, ℝ, < )
17	1, 5, 6, 16	aks4d1p4 42736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
18	17	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵))
19		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
20	19	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
21	20	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ↔ (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1))
22		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
23	22	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
24	23	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) = ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
25	24	breq2d 5125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
26	21, 25	anbi12d 643	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)) ↔ ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))))
27	1, 5, 6, 16	aks4d1p8 42744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1)
28	1, 5, 6, 16	aks4d1p9 42745	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
29	27, 28	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
30	18, 26, 29	rspcedvd 3592	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  infcinf 9401  ℝcr 11099  1c1 11101   · cmul 11105   < clt 11243   − cmin 11441  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ⌊cfl 13823  ⌈cceil 13824  ↑cexp 14097  ∏cprod 15957   ∥ cdvds 16310   gcd cgcd 16552  od_ℤcodz 16822   log_b clogb 26895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-symdif 4214  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-ceil 13826  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-prod 15958  df-ef 16121  df-e 16122  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-lcm 16648  df-lcmf 16649  df-prm 16730  df-odz 16824  df-phi 16825  df-pc 16897  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-cmp 23513  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-ovol 25592  df-vol 25593  df-mbf 25747  df-itg1 25748  df-itg2 25749  df-ibl 25750  df-itg 25751  df-0p 25798  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-cxp 26688  df-logb 26896

This theorem is referenced by: (None)