Theorem aks4d1 42065

Description: Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of 𝑁 that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that 𝑁 is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree 𝐵. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟

Proof of Theorem aks4d1

Dummy variables 𝑎 ℎ 𝑘 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁↑𝑏) = (𝑁↑𝑎))
3	2	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑁↑𝑏) − 1) = ((𝑁↑𝑎) − 1))
4	3	cbvprodv 15933	. . . . 5 ⊢ ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1) = ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1)
5	4	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1))
6		aks4d1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ℎ = 𝑘)
8		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑁↑𝑐) = (𝑁↑𝑏))
9	8	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑁↑𝑐) − 1) = ((𝑁↑𝑏) − 1))
10	9	cbvprodv 15933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1) = ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)
11	10	oveq2i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)))
13	7, 12	breq12d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
14	13	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
15	14	cbvrabv 3430	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))} = {𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}
16	15	infeq1i 9500	. . . 4 ⊢ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}, ℝ, < )
17	1, 5, 6, 16	aks4d1p4 42055	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
18	17	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵))
19		oveq2 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
21	20	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ↔ (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1))
22		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
23	22	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
24	23	fveq1d 6888	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) = ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
25	24	breq2d 5135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
26	21, 25	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)) ↔ ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))))
27	1, 5, 6, 16	aks4d1p8 42063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1)
28	1, 5, 6, 16	aks4d1p9 42064	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
29	27, 28	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
30	18, 26, 29	rspcedvd 3607	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3419   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  infcinf 9463  ℝcr 11136  1c1 11138   · cmul 11142   < clt 11277   − cmin 11474  2c2 12303  3c3 12304  5c5 12306  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13529  ⌊cfl 13812  ⌈cceil 13813  ↑cexp 14084  ∏cprod 15922   ∥ cdvds 16273   gcd cgcd 16514  od_ℤcodz 16783   log_b clogb 26744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cc 10457  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-symdif 4233  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-dju 9923  df-card 9961  df-acn 9964  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-ceil 13815  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14296  df-bc 14325  df-hash 14353  df-shft 15089  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-limsup 15490  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-prod 15923  df-ef 16086  df-e 16087  df-sin 16088  df-cos 16089  df-pi 16091  df-dvds 16274  df-gcd 16515  df-lcm 16610  df-lcmf 16611  df-prm 16692  df-odz 16785  df-phi 16786  df-pc 16858  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-hom 17298  df-cco 17299  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-psmet 21319  df-xmet 21320  df-met 21321  df-bl 21322  df-mopn 21323  df-fbas 21324  df-fg 21325  df-cnfld 21328  df-top 22849  df-topon 22866  df-topsp 22888  df-bases 22901  df-cld 22974  df-ntr 22975  df-cls 22976  df-nei 23053  df-lp 23091  df-perf 23092  df-cn 23182  df-cnp 23183  df-haus 23270  df-cmp 23342  df-tx 23517  df-hmeo 23710  df-fil 23801  df-fm 23893  df-flim 23894  df-flf 23895  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24841  df-ovol 25436  df-vol 25437  df-mbf 25591  df-itg1 25592  df-itg2 25593  df-ibl 25594  df-itg 25595  df-0p 25642  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26535  df-cxp 26536  df-logb 26745

This theorem is referenced by: (None)