Theorem aks4d1 42031

Description: Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of 𝑁 that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that 𝑁 is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree 𝐵. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟

Proof of Theorem aks4d1

Dummy variables 𝑎 ℎ 𝑘 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁↑𝑏) = (𝑁↑𝑎))
3	2	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑁↑𝑏) − 1) = ((𝑁↑𝑎) − 1))
4	3	cbvprodv 15919	. . . . 5 ⊢ ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1) = ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1)
5	4	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1))
6		aks4d1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ℎ = 𝑘)
8		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑁↑𝑐) = (𝑁↑𝑏))
9	8	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑁↑𝑐) − 1) = ((𝑁↑𝑏) − 1))
10	9	cbvprodv 15919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1) = ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)
11	10	oveq2i 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)))
13	7, 12	breq12d 5130	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
14	13	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
15	14	cbvrabv 3424	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))} = {𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}
16	15	infeq1i 9485	. . . 4 ⊢ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}, ℝ, < )
17	1, 5, 6, 16	aks4d1p4 42021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
18	17	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵))
19		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
21	20	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ↔ (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1))
22		fveq2 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
23	22	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
24	23	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) = ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
25	24	breq2d 5129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
26	21, 25	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)) ↔ ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))))
27	1, 5, 6, 16	aks4d1p8 42029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1)
28	1, 5, 6, 16	aks4d1p9 42030	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
29	27, 28	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
30	18, 26, 29	rspcedvd 3601	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3413   class class class wbr 5117  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  infcinf 9448  ℝcr 11121  1c1 11123   · cmul 11127   < clt 11262   − cmin 11459  2c2 12288  3c3 12289  5c5 12291  ℤ_≥cuz 12845  ...cfz 13514  ⌊cfl 13797  ⌈cceil 13798  ↑cexp 14069  ∏cprod 15908   ∥ cdvds 16259   gcd cgcd 16500  od_ℤcodz 16769   log_b clogb 26712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648  ax-cc 10442  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200  ax-addf 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-symdif 4226  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-disj 5085  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-oadd 8479  df-omul 8480  df-er 8714  df-map 8837  df-pm 8838  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-fi 9418  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-dju 9908  df-card 9946  df-acn 9949  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-xnn0 12568  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13121  df-xadd 13122  df-xmul 13123  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13799  df-ceil 13800  df-mod 13877  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-bc 14311  df-hash 14339  df-shft 15075  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-limsup 15476  df-clim 15493  df-rlim 15494  df-sum 15692  df-prod 15909  df-ef 16072  df-e 16073  df-sin 16074  df-cos 16075  df-pi 16077  df-dvds 16260  df-gcd 16501  df-lcm 16596  df-lcmf 16597  df-prm 16678  df-odz 16771  df-phi 16772  df-pc 16844  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19038  df-cntz 19287  df-cmn 19750  df-psmet 21294  df-xmet 21295  df-met 21296  df-bl 21297  df-mopn 21298  df-fbas 21299  df-fg 21300  df-cnfld 21303  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lp 23061  df-perf 23062  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-cmp 23312  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24809  df-ovol 25404  df-vol 25405  df-mbf 25559  df-itg1 25560  df-itg2 25561  df-ibl 25562  df-itg 25563  df-0p 25610  df-limc 25806  df-dv 25807  df-log 26503  df-cxp 26504  df-logb 26713

This theorem is referenced by: (None)