Theorem aks4d1 43279

Description: Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of 𝑁 that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that 𝑁 is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree 𝐵. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟

Proof of Theorem aks4d1

Dummy variables 𝑎 ℎ 𝑘 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		oveq2 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁↑𝑏) = (𝑁↑𝑎))
3	2	oveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑁↑𝑏) − 1) = ((𝑁↑𝑎) − 1))
4	3	cbvprodv 16095	. . . . 5 ⊢ ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1) = ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1)
5	4	oveq2i 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1))
6		aks4d1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ℎ = 𝑘)
8		oveq2 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑁↑𝑐) = (𝑁↑𝑏))
9	8	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑁↑𝑐) − 1) = ((𝑁↑𝑏) − 1))
10	9	cbvprodv 16095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1) = ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)
11	10	oveq2i 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)))
13	7, 12	breq12d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
14	13	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
15	14	cbvrabv 3425	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))} = {𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}
16	15	infeq1i 9481	. . . 4 ⊢ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}, ℝ, < )
17	1, 5, 6, 16	aks4d1p4 43269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
18	17	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵))
19		oveq2 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
20	19	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
21	20	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ↔ (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1))
22		fveq2 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
23	22	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
24	23	fveq1d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) = ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
25	24	breq2d 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
26	21, 25	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)) ↔ ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))))
27	1, 5, 6, 16	aks4d1p8 43277	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1)
28	1, 5, 6, 16	aks4d1p9 43278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
29	27, 28	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
30	18, 26, 29	rspcedvd 3581	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089  {crab 3415   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  infcinf 9443  ℝcr 11209  1c1 11211   · cmul 11215   < clt 11353   − cmin 11551  2c2 12407  3c3 12408  5c5 12410  ℤ_≥cuz 12975  ...cfz 13649  ⌊cfl 13940  ⌈cceil 13941  ↑cexp 14214  ∏cprod 16084   ∥ cdvds 16434   gcd cgcd 16676  od_ℤcodz 16952   log_b clogb 27104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cc 10523  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ioc 13491  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-ceil 13943  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-shft 15232  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-limsup 15650  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-sum 15866  df-prod 16085  df-ef 16245  df-e 16246  df-sin 16247  df-cos 16248  df-pi 16250  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-lcm 16777  df-lcmf 16778  df-prm 16859  df-odz 16954  df-phi 16955  df-pc 17027  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-lp 23466  df-perf 23467  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-cmp 23717  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-cncf 25211  df-ovol 25797  df-vol 25798  df-mbf 25952  df-itg1 25953  df-itg2 25954  df-ibl 25955  df-itg 25956  df-0p 26003  df-limc 26198  df-dv 26199  df-log 26896  df-cxp 26897  df-logb 27105

This theorem is used by: (None)