Theorem aks4d1 42072

Description: Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of 𝑁 that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that 𝑁 is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree 𝐵. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟

Proof of Theorem aks4d1

Dummy variables 𝑎 ℎ 𝑘 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		oveq2 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁↑𝑏) = (𝑁↑𝑎))
3	2	oveq1d 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑁↑𝑏) − 1) = ((𝑁↑𝑎) − 1))
4	3	cbvprodv 15886	. . . . 5 ⊢ ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1) = ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1)
5	4	oveq2i 7400	. . . 4 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑎 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑎) − 1))
6		aks4d1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ℎ = 𝑘)
8		oveq2 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑁↑𝑐) = (𝑁↑𝑏))
9	8	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑁↑𝑐) − 1) = ((𝑁↑𝑏) − 1))
10	9	cbvprodv 15886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1) = ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)
11	10	oveq2i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1)))
13	7, 12	breq12d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
14	13	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1)) ↔ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
15	14	cbvrabv 3419	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))} = {𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}
16	15	infeq1i 9436	. . . 4 ⊢ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑘 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))}, ℝ, < )
17	1, 5, 6, 16	aks4d1p4 42062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑏 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑏) − 1))))
18	17	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) ∈ (1...𝐵))
19		oveq2 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (𝑁 gcd 𝑟) = (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
21	20	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ↔ (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1))
22		fveq2 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
23	22	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (odℤ‘𝑟) = (odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )))
24	23	fveq1d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) = ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
25	24	breq2d 5121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
26	21, 25	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) → (((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)) ↔ ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))))
27	1, 5, 6, 16	aks4d1p8 42070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1)
28	1, 5, 6, 16	aks4d1p9 42071	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁))
29	27, 28	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 gcd inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < )) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘inf({ℎ ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ ℎ ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑐 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑐) − 1))}, ℝ, < ))‘𝑁)))
30	18, 26, 29	rspcedvd 3593	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵)((𝑁 gcd 𝑟) = 1 ∧ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑟)‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {crab 3408   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  infcinf 9398  ℝcr 11073  1c1 11075   · cmul 11079   < clt 11214   − cmin 11411  2c2 12242  3c3 12243  5c5 12245  ℤ_≥cuz 12799  ...cfz 13474  ⌊cfl 13758  ⌈cceil 13759  ↑cexp 14032  ∏cprod 15875   ∥ cdvds 16228   gcd cgcd 16470  od_ℤcodz 16739   log_b clogb 26680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-symdif 4218  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-prod 15876  df-ef 16039  df-e 16040  df-sin 16041  df-cos 16042  df-pi 16044  df-dvds 16229  df-gcd 16471  df-lcm 16566  df-lcmf 16567  df-prm 16648  df-odz 16741  df-phi 16742  df-pc 16814  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-cmp 23280  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-ovol 25371  df-vol 25372  df-mbf 25526  df-itg1 25527  df-itg2 25528  df-ibl 25529  df-itg 25530  df-0p 25577  df-limc 25773  df-dv 25774  df-log 26471  df-cxp 26472  df-logb 26681

This theorem is referenced by: (None)