Theorem gsummulgc2 33007

Description: A finite group sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulgc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummulgc1.t	⊢ · = (.g‘𝑀)
gsummulgc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
gsummulgc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummulgc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulgc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsummulgc2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummulgc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21370	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring0 21375	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
3		zringring 21366	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		ringcmn 20198	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6		gsummulgc1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 18885	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
8		gsummulgc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		gsummulgc1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulgc1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑀)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌))
12		gsummulgc1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	10, 11, 12	mulgghm2 21393	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
14	6, 9, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
15		ghmmhm 19165	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
17		gsummulgc1.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
19		0zd 12548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20	18, 8, 17, 19	fsuppmptdm 9334	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0)
21		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
22		oveq1 7397	. . 3 ⊢ (𝑥 = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
23	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 20, 21, 22	gsummhm2 19876	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
24	8, 17	gsumzrsum 33006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋)
25	24	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))
26	23, 25	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  0cc0 11075  ℤcz 12536  Σcsu 15659  Basecbs 17186   Σ_g cgsu 17410   MndHom cmhm 18715  Grpcgrp 18872  ._gcmg 19006   GrpHom cghm 19151  CMndccmn 19717  Ringcrg 20149  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33201