Theorem gsummulgc2 33294

Description: A finite group sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulgc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummulgc1.t	⊢ · = (.g‘𝑀)
gsummulgc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
gsummulgc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummulgc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulgc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsummulgc2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummulgc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21560	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring0 21565	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
3		zringring 21556	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		ringcmn 20353	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6		gsummulgc1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 19001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
8		gsummulgc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		gsummulgc1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulgc1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑀)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌))
12		gsummulgc1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	10, 11, 12	mulgghm2 21583	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
14	6, 9, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
15		ghmmhm 19284	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
17		gsummulgc1.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)
18		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
19		0zd 12591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20	18, 8, 17, 19	fsuppmptdm 9324	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0)
21		oveq1 7407	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
22		oveq1 7407	. . 3 ⊢ (𝑥 = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
23	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 20, 21, 22	gsummhm2 19997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
24	8, 17	gsumzrsum 33293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋)
25	24	oveq1d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))
26	23, 25	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  0cc0 11088  ℤcz 12579  Σcsu 15725  Basecbs 17257   Σ_g cgsu 17481   MndHom cmhm 18827  Grpcgrp 18988  ._gcmg 19121   GrpHom cghm 19271  CMndccmn 19838  Ringcrg 20303  ℤ_ringczring 21553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-cnfld 21480  df-zring 21554

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33471