Theorem gsummulgc2 33327

Description: A finite group sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulgc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummulgc1.t	⊢ · = (.g‘𝑀)
gsummulgc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
gsummulgc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummulgc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulgc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsummulgc2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummulgc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21572	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring0 21577	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
3		zringring 21568	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		ringcmn 20365	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6		gsummulgc1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 19013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
8		gsummulgc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		gsummulgc1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulgc1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑀)
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌))
12		gsummulgc1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	10, 11, 12	mulgghm2 21595	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
14	6, 9, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
15		ghmmhm 19296	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
17		gsummulgc1.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)
18		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
19		0zd 12603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20	18, 8, 17, 19	fsuppmptdm 9336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0)
21		oveq1 7418	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
22		oveq1 7418	. . 3 ⊢ (𝑥 = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
23	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 20, 21, 22	gsummhm2 20009	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
24	8, 17	gsumzrsum 33326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋)
25	24	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))
26	23, 25	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  0cc0 11100  ℤcz 12591  Σcsu 15737  Basecbs 17269   Σ_g cgsu 17493   MndHom cmhm 18839  Grpcgrp 19000  ._gcmg 19133   GrpHom cghm 19283  CMndccmn 19850  Ringcrg 20315  ℤ_ringczring 21565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-cnfld 21492  df-zring 21566

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33504