Theorem gsummulgc2 33694

Description: A finite group sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulgc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummulgc1.t	⊢ · = (.g‘𝑀)
gsummulgc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
gsummulgc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummulgc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulgc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsummulgc2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummulgc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21786	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring0 21791	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
3		zringring 21782	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		ringcmn 20538	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6		gsummulgc1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 19183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
8		gsummulgc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		gsummulgc1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulgc1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑀)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌))
12		gsummulgc1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	10, 11, 12	mulgghm2 21809	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
14	6, 9, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
15		ghmmhm 19466	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
17		gsummulgc1.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
19		0zd 12729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20	18, 8, 17, 19	fsuppmptdm 9392	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0)
21		oveq1 7447	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
22		oveq1 7447	. . 3 ⊢ (𝑥 = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
23	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 20, 21, 22	gsummhm2 20180	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
24	8, 17	gsumzrsum 33693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋)
25	24	oveq1d 7455	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))
26	23, 25	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  0cc0 11224  ℤcz 12717  Σcsu 15879  Basecbs 17413   Σ_g cgsu 17637   MndHom cmhm 19002  Grpcgrp 19170  ._gcmg 19303   GrpHom cghm 19453  CMndccmn 20021  Ringcrg 20486  ℤ_ringczring 21779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-cnfld 21706  df-zring 21780

This theorem is used by:  elrgspnlem2  33871