Theorem gsummulgc2 33146

Description: A finite group sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulgc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummulgc1.t	⊢ · = (.g‘𝑀)
gsummulgc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
gsummulgc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummulgc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulgc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsummulgc2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummulgc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21447	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		zring0 21452	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
3		zringring 21443	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		ringcmn 20258	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6		gsummulgc1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 18917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
8		gsummulgc1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		gsummulgc1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulgc1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑀)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌))
12		gsummulgc1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	10, 11, 12	mulgghm2 21470	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
14	6, 9, 13	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀))
15		ghmmhm 19196	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑀) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (ℤring MndHom 𝑀))
17		gsummulgc1.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℤ)
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
19		0zd 12531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20	18, 8, 17, 19	fsuppmptdm 9284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0)
21		oveq1 7369	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
22		oveq1 7369	. . 3 ⊢ (𝑥 = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
23	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 20, 21, 22	gsummhm2 19909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
24	8, 17	gsumzrsum 33145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋)
25	24	oveq1d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))
26	23, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  0cc0 11033  ℤcz 12519  Σcsu 15643  Basecbs 17174   Σ_g cgsu 17398   MndHom cmhm 18744  Grpcgrp 18904  ._gcmg 19038   GrpHom cghm 19182  CMndccmn 19750  Ringcrg 20209  ℤ_ringczring 21440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-cnfld 21349  df-zring 21441

This theorem is referenced by:  elrgspnlem2  33323