Theorem mplnzr 34215

Description: The multivariate polynomials over a nonzero ring form a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplnzr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
mplnzr	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem mplnzr

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		mplnzr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4	1, 2, 3	psrnzr 34214	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ NzRing)
5		mplnzr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9	5, 1, 6, 7, 8	mplbas 22327	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)}
10	9	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑃)
11		nzrring 20796	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	1, 5, 10, 2, 12	mplsubrg 22342	. 2 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)} ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)} = {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)}
15	5, 1, 6, 7, 14	mplval 22326	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)})
16	15	subrgnzr 20876	. 2 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ NzRing ∧ {ℎ ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝑅)} ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑃 ∈ NzRing)
17	4, 13, 16	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   finSupp cfsupp 9381  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  Ringcrg 20489  NzRingcnzr 20792  SubRingcsubrg 20851   mPwSer cmps 22242   mPoly cmpl 22244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-nzr 20793  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-psr 22247  df-mpl 22249

This theorem is used by:  mplidomlem  34229