Theorem 0mplrim 33813

Description: Build a ring isomorphism between multivariate polynomials with no variables and the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
0mplric.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
0mplric.p	⊢ 𝑃 = (∅ mPoly 𝑅)
0mplric.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0mplrim.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘∅))

Assertion

Ref	Expression
0mplrim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingIso 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝐹,𝑝

Proof of Theorem 0mplrim

Dummy variables 𝑞 𝑎 𝑟 𝑥 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0mplric.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		0mplric.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (∅ mPoly 𝑅)
7		0ex 5258	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
9		0mplric.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 8, 9	mplringd 22081	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		0mplrim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘∅))
12		fveq1 6866	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑝‘∅) = ((1r‘𝑃)‘∅))
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
14	6, 13, 3, 2, 8, 9	mplascl1 22085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
15	14	fveq1d 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))‘∅) = ((1r‘𝑃)‘∅))
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	psrbasfsupp 33810	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 3, 9	ringidcld 20326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21	6, 17, 18, 19, 13, 8, 9, 20	mplascl 22124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑝 = (∅ × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑝 = ∅)
23		0xp 5747	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
24	22, 23	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑝 = (∅ × {0}))
25	24	iftrued 4489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = ∅) → if(𝑝 = (∅ × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26		breq1 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ∅ → (ℎ finSupp 0 ↔ ∅ finSupp 0))
27		nn0ex 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
29	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
30		f0 6745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅:∅⟶ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶ℕ0)
32	28, 29, 31	elmapdd 8822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ (ℕ0 ↑m ∅))
33		0fi 9023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ Fin)
35		c0ex 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
37	31, 34, 36	fidmfisupp 9316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∅ finSupp 0)
38	26, 32, 37	elrabd 3653	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
39	38	mptru 1568	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0}
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
41	21, 25, 40, 20	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))‘∅) = (1r‘𝑅))
42	15, 41	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃)‘∅) = (1r‘𝑅))
43	12, 42	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (1r‘𝑃)) → (𝑝‘∅) = (1r‘𝑅))
44	1, 2, 10	ringidcld 20326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
45	11, 43, 44, 20	fvmptd2 6984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
46		fveq1 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) → (𝑝‘∅) = ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅))
47	10	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
48		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	1, 4, 47, 48, 49	ringcld 20320	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
51		fvexd 6882	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅) ∈ V)
52	11, 46, 50, 51	fvmptd3 6999	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅))
53		elsni 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
54	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
55	53, 54	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
56		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m ∅)
57		mapdm0 8823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (ℕ0 ↑m ∅) = {∅})
58	27, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑m ∅) = {∅}
59	56, 58	sseqtri 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ {∅}
60	59	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑝 ∈ {∅})
61	55, 60	impbii 211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} ↔ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
62	61	eqriv 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0}
63	62	psrbasfsupp 33810	. . . . . . 7 ⊢ {∅} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
64	6, 1, 5, 4, 63, 48, 49	mplmul 22069	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)))))))
65	9	ringgrpd 20302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	grpmndd 18998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
67	66	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑅 ∈ Mnd)
68	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ∅ ∈ V)
69	9	ad3antrrr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
70	6, 19, 1, 63, 48	mplelf 22056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥:{∅}⟶(Base‘𝑅))
71	70	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑥:{∅}⟶(Base‘𝑅))
72	7	snid 4622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ {∅}
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
74	71, 73	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑥‘∅) ∈ (Base‘𝑅))
75	6, 19, 1, 63, 49	mplelf 22056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:{∅}⟶(Base‘𝑅))
76	75	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑦:{∅}⟶(Base‘𝑅))
77	76, 73	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑦‘∅) ∈ (Base‘𝑅))
78	19, 5, 69, 74, 77	ringcld 20320	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)) ∈ (Base‘𝑅))
79		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑞 = ∅)
80	79	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑥‘𝑞) = (𝑥‘∅))
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅ ∈ V)
82		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑝 = ∅)
83	82	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅ = 𝑝)
84	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅:∅⟶ℕ0)
85	83, 84	feq1dd 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑝:∅⟶ℕ0)
86	85	ffnd 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑝 Fn ∅)
87	79	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅ = 𝑞)
88	87, 84	feq1dd 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑞:∅⟶ℕ0)
89	88	ffnd 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑞 Fn ∅)
90	81, 86, 89	offvalfv 7682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑝 ∘f − 𝑞) = (𝑎 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑎) − (𝑞‘𝑎))))
91		mpt0 6663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑎) − (𝑞‘𝑎))) = ∅
92	90, 91	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑝 ∘f − 𝑞) = ∅)
93	92	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)) = (𝑦‘∅))
94	80, 93	oveq12d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))) = ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)))
95	19, 67, 68, 78, 94	gsumsnd 20002	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {∅} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))) = ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)))
96		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → 𝑎 ∈ ∅)
97		noel 4291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → ¬ 𝑎 ∈ ∅)
99	96, 98	pm2.21dd 197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → (𝑟‘𝑎) ≤ (𝑝‘𝑎))
100	99	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∀𝑎 ∈ ∅ (𝑟‘𝑎) ≤ (𝑝‘𝑎))
101		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 ∈ {∅})
102	101	elsnd 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 = ∅)
103	102	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∅ = 𝑟)
104	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∅:∅⟶ℕ0)
105	103, 104	feq1dd 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟:∅⟶ℕ0)
106	105	ffnd 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 Fn ∅)
107		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝 = ∅)
108	107	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∅ = 𝑝)
109	108, 104	feq1dd 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝:∅⟶ℕ0)
110	109	ffnd 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝 Fn ∅)
111		vex 3459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑝 ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝 ∈ V)
113		inidm 4179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
114		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → (𝑟‘𝑎) = (𝑟‘𝑎))
115		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → (𝑝‘𝑎) = (𝑝‘𝑎))
116	106, 110, 101, 112, 113, 114, 115	ofrfvalg 7668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → (𝑟 ∘r ≤ 𝑝 ↔ ∀𝑎 ∈ ∅ (𝑟‘𝑎) ≤ (𝑝‘𝑎)))
117	100, 116	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 ∘r ≤ 𝑝)
118	117	rabeqcda 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} = {∅})
119	118	mpteq1d 5191	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)))) = (𝑞 ∈ {∅} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)))))
120	119	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {∅} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))))
121		fveq1 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝‘∅) = (𝑥‘∅))
122		fvexd 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥‘∅) ∈ V)
123	11, 121, 48, 122	fvmptd3 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥‘∅))
124	123	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥‘∅))
125		fveq1 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘∅) = (𝑦‘∅))
126		fvexd 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦‘∅) ∈ V)
127	11, 125, 49, 126	fvmptd3 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦‘∅))
128	127	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦‘∅))
129	124, 128	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)))
130	95, 120, 129	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
131	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ {∅})
132		ovexd 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
133	64, 130, 131, 132	fvmptd 6983	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
134	52, 133	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
135	134	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
136		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
137		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
138		fvexd 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝‘∅) ∈ V)
139		snex 5397	. . . . . 6 ⊢ {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ V
140	139	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ V)
141		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑎 = (𝑝‘∅))
142		simplr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
143	6, 19, 1, 63, 142	mplelf 22056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝:{∅}⟶(Base‘𝑅))
144	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → ∅ ∈ {∅})
145	143, 144	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑝‘∅) ∈ (Base‘𝑅))
146	141, 145	eqeltrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
147	146	elexd 3478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑎 ∈ V)
148		fvsng 7164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
149	7, 147, 148	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
150	149, 141	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑝‘∅) = ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅))
151	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → ∅ ∈ V)
152		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} = {∅}
153	143	ffnd 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝 Fn {∅})
154	151, 147	fsnd 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → {⟨∅, 𝑎⟩}:{∅}⟶V)
155	154	ffnd 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} Fn {∅})
156	151, 152, 153, 155	fsneq 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩} ↔ (𝑝‘∅) = ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅)))
157	150, 156	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})
158	146, 157	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}))
159	158	anasss 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}))
160		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})
161		fvexd 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Base‘𝑅) ∈ V)
162		snex 5397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {∅} ∈ V
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {∅} ∈ V)
164	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ V)
165		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
166	164, 165	fsnd 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩}:{∅}⟶(Base‘𝑅))
167	161, 163, 166	elmapdd 8822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {∅}))
168		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ mPwSer 𝑅) = (∅ mPwSer 𝑅)
169		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)) = (Base‘(∅ mPwSer 𝑅))
170	168, 19, 63, 169, 164	psrbas 21993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m {∅}))
171	167, 170	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)))
172		fvexd 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
173		snopfsupp 9335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → {⟨∅, 𝑎⟩} finSupp (0g‘𝑅))
174	7, 165, 172, 173	mp3an2i 1488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} finSupp (0g‘𝑅))
175	6, 168, 169, 18, 1	mplelbas 22049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨∅, 𝑎⟩} ∈ 𝐵 ↔ ({⟨∅, 𝑎⟩} ∈ (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)) ∧ {⟨∅, 𝑎⟩} finSupp (0g‘𝑅)))
176	171, 174, 175	sylanbrc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ 𝐵)
177	176	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ 𝐵)
178	160, 177	eqeltrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → 𝑝 ∈ 𝐵)
179	160	fveq1d 6869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → (𝑝‘∅) = ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅))
180		fvsng 7164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
181	7, 165, 180	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
182	181	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
183	179, 182	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → 𝑎 = (𝑝‘∅))
184	178, 183	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)))
185	184	anasss 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})) → (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)))
186	159, 185	impbida 810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})))
187	11, 138, 140, 186	f1od 7648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑅))
188		f1of 6806	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑅))
189	187, 188	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑅))
190		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
191	190	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → (𝑝‘∅) = ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘∅))
192		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
193		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
194	6, 1, 137, 136, 192, 193	mpladd 22067	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
195	194	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘∅) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅))
196	70	ffnd 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn {∅})
197	75	ffnd 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 Fn {∅})
198	162	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {∅} ∈ V)
199		inidm 4179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∩ {∅}) = {∅}
200		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ {∅}) → (𝑥‘∅) = (𝑥‘∅))
201		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ {∅}) → (𝑦‘∅) = (𝑦‘∅))
202	196, 197, 198, 198, 199, 200, 201	ofval 7671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ {∅}) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
203	72, 202	mpan2 701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
204	203	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
205	191, 195, 204	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → (𝑝‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
206	10	ringgrpd 20302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
207	206	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
208	1, 136, 207, 48, 49	grpcld 18999	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
209		ovexd 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)) ∈ V)
210	11, 205, 208, 209	fvmptd2 6984	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
211	123, 127	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
212	210, 211	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
213	212	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
214	1, 2, 3, 4, 5, 10, 9, 45, 135, 19, 136, 137, 189, 213	isrhmd 20547	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
215	1, 19	isrim 20551	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingIso 𝑅) ↔ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑅)))
216	214, 187, 215	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingIso 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561  ⊤wtru 1562   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  {crab 3415  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ifcif 4481  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   × cxp 5646  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658   ∘_r cofr 7659   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084   ≤ cle 11228   − cmin 11425  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  ._rcmulr 17297  0_gc0g 17478   Σ_g cgsu 17479  Mndcmnd 18778  Grpcgrp 18985  1_rcur 20241  Ringcrg 20293   RingHom crh 20528   RingIso crs 20529  algSccascl 21911   mPwSer cmps 21963   mPoly cmpl 21965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-rhm 20531  df-rim 20532  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mpl 21970

This theorem is referenced by:  0mplric  33814