Theorem 0mplrim 34188

Description: Build a ring isomorphism between multivariate polynomials with no variables and the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
0mplric.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
0mplric.p	⊢ 𝑃 = (∅ mPoly 𝑅)
0mplric.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0mplrim.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘∅))

Assertion

Ref	Expression
0mplrim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingIso 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝐹,𝑝

Proof of Theorem 0mplrim

Dummy variables 𝑞 𝑎 𝑟 𝑥 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0mplric.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		0mplric.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (∅ mPoly 𝑅)
7		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
9		0mplric.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 8, 9	mplringd 22330	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		0mplrim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘∅))
12		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑝‘∅) = ((1r‘𝑃)‘∅))
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
14	6, 13, 3, 2, 8, 9	mplascl1 22334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
15	14	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))‘∅) = ((1r‘𝑃)‘∅))
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	psrbasfsupp 34185	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 3, 9	ringidcld 20495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21	6, 17, 18, 19, 13, 8, 9, 20	mplascl 22373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ if(𝑝 = (∅ × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑝 = ∅)
23		0xp 5749	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
24	22, 23	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑝 = (∅ × {0}))
25	24	iftrued 4489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = ∅) → if(𝑝 = (∅ × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
26		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ∅ → (ℎ finSupp 0 ↔ ∅ finSupp 0))
27		nn0ex 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
29	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
30		f0 6763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅:∅⟶ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶ℕ0)
32	28, 29, 31	elmapdd 8861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ (ℕ0 ↑m ∅))
33		0fi 9070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ Fin)
35		c0ex 11300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
37	31, 34, 36	fidmfisupp 9364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∅ finSupp 0)
38	26, 32, 37	elrabd 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
39	38	mptru 1576	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0}
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
41	21, 25, 40, 20	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))‘∅) = (1r‘𝑅))
42	15, 41	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃)‘∅) = (1r‘𝑅))
43	12, 42	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (1r‘𝑃)) → (𝑝‘∅) = (1r‘𝑅))
44	1, 2, 10	ringidcld 20495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
45	11, 43, 44, 20	fvmptd2 7002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
46		fveq1 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) → (𝑝‘∅) = ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅))
47	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
48		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	1, 4, 47, 48, 49	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
51		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅) ∈ V)
52	11, 46, 50, 51	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅))
53		elsni 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
54	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ∅ ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
55	53, 54	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
56		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m ∅)
57		mapdm0 8862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (ℕ0 ↑m ∅) = {∅})
58	27, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑m ∅) = {∅}
59	56, 58	sseqtri 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ {∅}
60	59	sseli 3904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑝 ∈ {∅})
61	55, 60	impbii 212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} ↔ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0})
62	61	eqriv 2757	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ ℎ finSupp 0}
63	62	psrbasfsupp 34185	. . . . . . 7 ⊢ {∅} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m ∅) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
64	6, 1, 5, 4, 63, 48, 49	mplmul 22318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)))))))
65	9	ringgrpd 20469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	grpmndd 19157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
67	66	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑅 ∈ Mnd)
68	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ∅ ∈ V)
69	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
70	6, 19, 1, 63, 48	mplelf 22305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥:{∅}⟶(Base‘𝑅))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑥:{∅}⟶(Base‘𝑅))
72	7	snid 4622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ {∅}
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
74	71, 73	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑥‘∅) ∈ (Base‘𝑅))
75	6, 19, 1, 63, 49	mplelf 22305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:{∅}⟶(Base‘𝑅))
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → 𝑦:{∅}⟶(Base‘𝑅))
77	76, 73	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑦‘∅) ∈ (Base‘𝑅))
78	19, 5, 69, 74, 77	ringcld 20484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)) ∈ (Base‘𝑅))
79		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑞 = ∅)
80	79	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑥‘𝑞) = (𝑥‘∅))
81	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅ ∈ V)
82		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑝 = ∅)
83	82	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅ = 𝑝)
84	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅:∅⟶ℕ0)
85	83, 84	feq1dd 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑝:∅⟶ℕ0)
86	85	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑝 Fn ∅)
87	79	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ∅ = 𝑞)
88	87, 84	feq1dd 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑞:∅⟶ℕ0)
89	88	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → 𝑞 Fn ∅)
90	81, 86, 89	offvalfv 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑝 ∘f − 𝑞) = (𝑎 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑎) − (𝑞‘𝑎))))
91		mpt0 6681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑎) − (𝑞‘𝑎))) = ∅
92	90, 91	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑝 ∘f − 𝑞) = ∅)
93	92	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → (𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)) = (𝑦‘∅))
94	80, 93	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑞 = ∅) → ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))) = ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)))
95	19, 67, 68, 78, 94	gsumsnd 20166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {∅} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))) = ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)))
96		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → 𝑎 ∈ ∅)
97		noel 4283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → ¬ 𝑎 ∈ ∅)
99	96, 98	pm2.21dd 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → (𝑟‘𝑎) ≤ (𝑝‘𝑎))
100	99	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∀𝑎 ∈ ∅ (𝑟‘𝑎) ≤ (𝑝‘𝑎))
101		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 ∈ {∅})
102	101	elsnd 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 = ∅)
103	102	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∅ = 𝑟)
104	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∅:∅⟶ℕ0)
105	103, 104	feq1dd 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟:∅⟶ℕ0)
106	105	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 Fn ∅)
107		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝 = ∅)
108	107	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → ∅ = 𝑝)
109	108, 104	feq1dd 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝:∅⟶ℕ0)
110	109	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝 Fn ∅)
111		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑝 ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑝 ∈ V)
113		inidm 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
114		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → (𝑟‘𝑎) = (𝑟‘𝑎))
115		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) ∧ 𝑎 ∈ ∅) → (𝑝‘𝑎) = (𝑝‘𝑎))
116	106, 110, 101, 112, 113, 114, 115	ofrfvalg 7701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → (𝑟 ∘r ≤ 𝑝 ↔ ∀𝑎 ∈ ∅ (𝑟‘𝑎) ≤ (𝑝‘𝑎)))
117	100, 116	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) ∧ 𝑟 ∈ {∅}) → 𝑟 ∘r ≤ 𝑝)
118	117	rabeqcda 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} = {∅})
119	118	mpteq1d 5194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)))) = (𝑞 ∈ {∅} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞)))))
120	119	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {∅} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))))
121		fveq1 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝‘∅) = (𝑥‘∅))
122		fvexd 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥‘∅) ∈ V)
123	11, 121, 48, 122	fvmptd3 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥‘∅))
124	123	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥‘∅))
125		fveq1 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘∅) = (𝑦‘∅))
126		fvexd 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦‘∅) ∈ V)
127	11, 125, 49, 126	fvmptd3 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦‘∅))
128	127	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦‘∅))
129	124, 128	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥‘∅)(.r‘𝑅)(𝑦‘∅)))
130	95, 120, 129	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = ∅) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ {𝑟 ∈ {∅} ∣ 𝑟 ∘r ≤ 𝑝} ↦ ((𝑥‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝑦‘(𝑝 ∘f − 𝑞))))) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
131	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ {∅})
132		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
133	64, 130, 131, 132	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦)‘∅) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
134	52, 133	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
135	134	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
136		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
137		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
138		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝‘∅) ∈ V)
139		snex 5396	. . . . . 6 ⊢ {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ V
140	139	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ V)
141		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑎 = (𝑝‘∅))
142		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
143	6, 19, 1, 63, 142	mplelf 22305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝:{∅}⟶(Base‘𝑅))
144	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → ∅ ∈ {∅})
145	143, 144	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑝‘∅) ∈ (Base‘𝑅))
146	141, 145	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
147	146	elexd 3473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑎 ∈ V)
148		fvsng 7185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
149	7, 147, 148	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
150	149, 141	eqtr2d 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑝‘∅) = ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅))
151	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → ∅ ∈ V)
152		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} = {∅}
153	143	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝 Fn {∅})
154	151, 147	fsnd 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → {⟨∅, 𝑎⟩}:{∅}⟶V)
155	154	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} Fn {∅})
156	151, 152, 153, 155	fsneq 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩} ↔ (𝑝‘∅) = ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅)))
157	150, 156	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})
158	146, 157	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}))
159	158	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}))
160		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})
161		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Base‘𝑅) ∈ V)
162		snex 5396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {∅} ∈ V
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {∅} ∈ V)
164	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ V)
165		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
166	164, 165	fsnd 6869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩}:{∅}⟶(Base‘𝑅))
167	161, 163, 166	elmapdd 8861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {∅}))
168		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ mPwSer 𝑅) = (∅ mPwSer 𝑅)
169		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)) = (Base‘(∅ mPwSer 𝑅))
170	168, 19, 63, 169, 164	psrbas 22242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m {∅}))
171	167, 170	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)))
172		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
173		snopfsupp 9383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → {⟨∅, 𝑎⟩} finSupp (0g‘𝑅))
174	7, 165, 172, 173	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} finSupp (0g‘𝑅))
175	6, 168, 169, 18, 1	mplelbas 22298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨∅, 𝑎⟩} ∈ 𝐵 ↔ ({⟨∅, 𝑎⟩} ∈ (Base‘(∅ mPwSer 𝑅)) ∧ {⟨∅, 𝑎⟩} finSupp (0g‘𝑅)))
176	171, 174, 175	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ 𝐵)
177	176	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → {⟨∅, 𝑎⟩} ∈ 𝐵)
178	160, 177	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → 𝑝 ∈ 𝐵)
179	160	fveq1d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → (𝑝‘∅) = ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅))
180		fvsng 7185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
181	7, 165, 180	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
182	181	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → ({⟨∅, 𝑎⟩}‘∅) = 𝑎)
183	179, 182	eqtr2d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → 𝑎 = (𝑝‘∅))
184	178, 183	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩}) → (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)))
185	184	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})) → (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)))
186	159, 185	impbida 813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝑝‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑝 = {⟨∅, 𝑎⟩})))
187	11, 138, 140, 186	f1od 7673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑅))
188		f1of 6824	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑅))
189	187, 188	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑅))
190		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
191	190	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → (𝑝‘∅) = ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘∅))
192		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
193		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
194	6, 1, 137, 136, 192, 193	mpladd 22316	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
195	194	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘∅) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅))
196	70	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn {∅})
197	75	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 Fn {∅})
198	162	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {∅} ∈ V)
199		inidm 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∩ {∅}) = {∅}
200		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ {∅}) → (𝑥‘∅) = (𝑥‘∅))
201		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ {∅}) → (𝑦‘∅) = (𝑦‘∅))
202	196, 197, 198, 198, 199, 200, 201	ofval 7704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ {∅}) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
203	72, 202	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
204	203	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
205	191, 195, 204	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) → (𝑝‘∅) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
206	10	ringgrpd 20469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
207	206	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
208	1, 136, 207, 48, 49	grpcld 19158	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
209		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)) ∈ V)
210	11, 205, 208, 209	fvmptd2 7002	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
211	123, 127	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)) = ((𝑥‘∅)(+g‘𝑅)(𝑦‘∅)))
212	210, 211	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
213	212	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
214	1, 2, 3, 4, 5, 10, 9, 45, 135, 19, 136, 137, 189, 213	isrhmd 20722	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
215	1, 19	isrim 20728	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingIso 𝑅) ↔ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑅)))
216	214, 187, 215	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingIso 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ∘_r cofr 7692   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  Grpcgrp 19144  1_rcur 20407  Ringcrg 20459   RingHom crh 20699   RingIso crs 20700  algSccascl 22160   mPwSer cmps 22212   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-rhm 20702  df-rim 20703  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  0mplric  34189