Theorem psrnzr 33753

Description: The ring of power series over a nonzero ring form a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrnzr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
psrnzr	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem psrnzr

Dummy variables ℎ 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrnzr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrnzr.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		nzrring 20534	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	psrring 21990	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20533	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	3, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
13	1, 2, 5, 11, 8, 7, 12	psr1 21991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → 𝑥 = (𝐼 × {0}))
15	14	iftrued 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
16	11	psrbag0 22084	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		fvexd 6867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
19	13, 15, 17, 18	fvmptd 6968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (1r‘𝑅))
20	5	ringgrpd 20260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
21		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	1, 2, 20, 11, 8, 21	psr0 21978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
23	22	fveq1d 6854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})))
24		fvex 6865	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
25	24	fvconst2 7173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
26	17, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
27	23, 26	eqtrd 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
28	10, 19, 27	3netr4d 3024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
29		fveq1 6851	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
30	29	necon3i 2979	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
31	28, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
32	12, 21	isnzr 20532	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
33	6, 31, 32	sylanbrc 591	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  {crab 3404  Vcvv 3444  ifcif 4470  {csn 4572   × cxp 5634  ^◡ccnv 5635   “ cima 5639  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ↑_m cmap 8792  Fincfn 8912  0cc0 11059  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  0_gc0g 17440  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20530   mPwSer cmps 21925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-ofr 7646  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-hash 14330  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-mulg 19082  df-ghm 19226  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20531  df-psr 21930

This theorem is referenced by:  mplnzr  33754