Theorem psrnzr 33699

Description: The ring of power series over a nonzero ring form a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrnzr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
psrnzr	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem psrnzr

Dummy variables ℎ 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrnzr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrnzr.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		nzrring 20491	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	psrring 21947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20490	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	3, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
13	1, 2, 5, 11, 8, 7, 12	psr1 21948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → 𝑥 = (𝐼 × {0}))
15	14	iftrued 4465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
16	11	psrbag0 22041	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		fvexd 6845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
19	13, 15, 17, 18	fvmptd 6946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (1r‘𝑅))
20	5	ringgrpd 20217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	1, 2, 20, 11, 8, 21	psr0 21935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
23	22	fveq1d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})))
24		fvex 6843	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
25	24	fvconst2 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
26	17, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
27	23, 26	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
28	10, 19, 27	3netr4d 3008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
29		fveq1 6829	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
30	29	necon3i 2963	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
31	28, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
32	12, 21	isnzr 20489	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
33	6, 31, 32	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115   ≠ wne 2931  {crab 3388  Vcvv 3428  ifcif 4457  {csn 4558   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  0_gc0g 17396  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  NzRingcnzr 20487   mPwSer cmps 21882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-nzr 20488  df-psr 21887

This theorem is referenced by:  mplnzr  33700