Theorem psrnzr 34077

Description: The ring of power series over a nonzero ring form a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrnzr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
psrnzr	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem psrnzr

Dummy variables ℎ 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrnzr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrnzr.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		nzrring 20727	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	psrring 22238	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20726	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	3, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
13	1, 2, 5, 11, 8, 7, 12	psr1 22239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → 𝑥 = (𝐼 × {0}))
15	14	iftrued 4489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
16	11	psrbag0 22332	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17	2, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
19	13, 15, 17, 18	fvmptd 6989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (1r‘𝑅))
20	5	ringgrpd 20430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
21		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	1, 2, 20, 11, 8, 21	psr0 22226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
23	22	fveq1d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})))
24		fvex 6886	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
25	24	fvconst2 7198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
26	17, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
27	23, 26	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
28	10, 19, 27	3netr4d 3032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
29		fveq1 6872	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
30	29	necon3i 2987	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
31	28, 30	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
32	12, 21	isnzr 20725	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
33	6, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450  ifcif 4481  {csn 4583   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951  0cc0 11171  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  0_gc0g 17571  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  NzRingcnzr 20723   mPwSer cmps 22173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-nzr 20724  df-psr 22178

This theorem is used by:  mplnzr  34078