Theorem psrnzr 34009

Description: The ring of power series over a nonzero ring form a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrnzr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
psrnzr	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem psrnzr

Dummy variables ℎ 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrnzr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrnzr.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		nzrring 20677	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	psrring 22185	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20676	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	3, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
13	1, 2, 5, 11, 8, 7, 12	psr1 22186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → 𝑥 = (𝐼 × {0}))
15	14	iftrued 4493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
16	11	psrbag0 22279	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17	2, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
19	13, 15, 17, 18	fvmptd 6998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (1r‘𝑅))
20	5	ringgrpd 20382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	1, 2, 20, 11, 8, 21	psr0 22173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
23	22	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})))
24		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
25	24	fvconst2 7206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
26	17, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
27	23, 26	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
28	10, 19, 27	3netr4d 3034	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
29		fveq1 6881	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
30	29	necon3i 2989	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
31	28, 30	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
32	12, 21	isnzr 20675	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
33	6, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  Vcvv 3453  ifcif 4485  {csn 4587   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  0cc0 11127  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  NzRingcnzr 20673   mPwSer cmps 22120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-nzr 20674  df-psr 22125

This theorem is used by:  mplnzr  34010