Theorem psrnzr 33868

Description: The ring of power series over a nonzero ring form a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrnzr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
psrnzr	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem psrnzr

Dummy variables ℎ 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrnzr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrnzr.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
4		nzrring 20598	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	psrring 22098	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20597	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	3, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
13	1, 2, 5, 11, 8, 7, 12	psr1 22099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → 𝑥 = (𝐼 × {0}))
15	14	iftrued 4494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
16	11	psrbag0 22192	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17	2, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
19	13, 15, 17, 18	fvmptd 6997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (1r‘𝑅))
20	5	ringgrpd 20323	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	1, 2, 20, 11, 8, 21	psr0 22086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
23	22	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})))
24		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
25	24	fvconst2 7202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
26	17, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
27	23, 26	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = (0g‘𝑅))
28	10, 19, 27	3netr4d 3033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
29		fveq1 6880	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → ((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) = ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})))
30	29	necon3i 2988	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) ≠ ((0g‘𝑆)‘(𝐼 × {0})) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
31	28, 30	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
32	12, 21	isnzr 20596	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
33	6, 31, 32	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3414  Vcvv 3453  ifcif 4486  {csn 4588   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  0cc0 11099  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  NzRingcnzr 20594   mPwSer cmps 22033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-nzr 20595  df-psr 22038

This theorem is referenced by:  mplnzr  33869