Theorem nmoleub2a 25044

Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator in the closed unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2a	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmoleub2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		nmoleub2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
4		nmoleub2.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
5		nmoleub2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6		nmoleub2.w	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		nmoleub2.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8		nmoleub2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9		nmoleub2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nmoleub2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		nmoleub2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
12		nmoleub2a.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
13		idd 24	. 2 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
14		ltle 11201	. 2 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	nmoleub2lem2 25043	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℚcq 12846  ℝ⁺crp 12890  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   LMHom clmhm 20953  normcnm 24491  NrmModcnlm 24495   normOp cnmo 24620  ℂModcclm 24989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-mgp 20059  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lmhm 20956  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-nlm 24501  df-nmo 24623  df-nghm 24624  df-clm 24990

This theorem is referenced by: (None)