Theorem lcdsbase 37675

Description: Base set of scalar ring for the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsbase.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsbase.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
lcdsbase.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsbase.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcdsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsbase	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐿)

Proof of Theorem lcdsbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdsbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdsbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
5		lcdsbase.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdsbase.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcdsbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 37674	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
9	8	fveq2d 6437	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(oppr‘𝐹)))
10		lcdsbase.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcdsbase.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
12	4, 11	opprbas 18983	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘(oppr‘𝐹))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2886	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308  opp_rcoppr 18976  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DVecHcdvh 37153  LCDualclcd 37661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lvec 19462  df-ldual 35199  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dvech 37154  df-lcdual 37662

This theorem is referenced by:  lcdvscl  37680  lcdlssvscl  37681  lcdvsass  37682  lcdvs0N  37691  lcdvsubval  37693  mapdpglem3  37750  mapdpglem18  37764  mapdpglem21  37767  mapdpglem22  37768  mapdpglem26  37773  mapdpglem27  37774  mapdpglem28  37776  mapdpglem30  37777  hdmap14lem15  37957  hgmapdcl  37965  hgmapval1  37968  hgmaprnN  37976