Theorem lcdsbase 42188

Description: Base set of scalar ring for the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsbase.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsbase.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
lcdsbase.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsbase.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcdsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsbase	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐿)

Proof of Theorem lcdsbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdsbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdsbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
5		lcdsbase.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdsbase.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcdsbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 42187	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
9	8	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(oppr‘𝐹)))
10		lcdsbase.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcdsbase.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
12	4, 11	opprbas 20371	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘(oppr‘𝐹))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  Scalarcsca 17272  opp_rcoppr 20364  HLchlt 39938  LHypclh 40572  DVecHcdvh 41666  LCDualclcd 42174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-riotaBAD 39541

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-undef 8248  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lvec 21150  df-ldual 39712  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-llines 40086  df-lplanes 40087  df-lvols 40088  df-lines 40089  df-psubsp 40091  df-pmap 40092  df-padd 40384  df-lhyp 40576  df-laut 40577  df-ldil 40692  df-ltrn 40693  df-trl 40747  df-tendo 41343  df-edring 41345  df-dvech 41667  df-lcdual 42175

This theorem is referenced by:  lcdvscl  42193  lcdlssvscl  42194  lcdvsass  42195  lcdvs0N  42204  lcdvsubval  42206  mapdpglem3  42263  mapdpglem18  42277  mapdpglem21  42280  mapdpglem22  42281  mapdpglem26  42286  mapdpglem27  42287  mapdpglem28  42289  mapdpglem30  42290  hdmap14lem15  42470  hgmapdcl  42478  hgmapval1  42481  hgmaprnN  42489