Theorem lcdsbase 41311

Description: Base set of scalar ring for the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsbase.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsbase.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
lcdsbase.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsbase.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcdsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsbase	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐿)

Proof of Theorem lcdsbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdsbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdsbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
5		lcdsbase.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdsbase.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcdsbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 41310	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
9	8	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(oppr‘𝐹)))
10		lcdsbase.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcdsbase.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
12	4, 11	opprbas 20318	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘(oppr‘𝐹))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6545  Basecbs 17207  Scalarcsca 17263  opp_rcoppr 20310  HLchlt 39060  LHypclh 39695  DVecHcdvh 40789  LCDualclcd 41297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38663

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8848  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-fz 13532  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-0g 17450  df-proset 18314  df-poset 18332  df-plt 18349  df-lub 18365  df-glb 18366  df-join 18367  df-meet 18368  df-p0 18444  df-p1 18445  df-lat 18451  df-clat 18518  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18925  df-minusg 18926  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20704  df-lmod 20833  df-lvec 21076  df-ldual 38834  df-oposet 38886  df-ol 38888  df-oml 38889  df-covers 38976  df-ats 38977  df-atl 39008  df-cvlat 39032  df-hlat 39061  df-llines 39209  df-lplanes 39210  df-lvols 39211  df-lines 39212  df-psubsp 39214  df-pmap 39215  df-padd 39507  df-lhyp 39699  df-laut 39700  df-ldil 39815  df-ltrn 39816  df-trl 39870  df-tendo 40466  df-edring 40468  df-dvech 40790  df-lcdual 41298

This theorem is referenced by:  lcdvscl  41316  lcdlssvscl  41317  lcdvsass  41318  lcdvs0N  41327  lcdvsubval  41329  mapdpglem3  41386  mapdpglem18  41400  mapdpglem21  41403  mapdpglem22  41404  mapdpglem26  41409  mapdpglem27  41410  mapdpglem28  41412  mapdpglem30  41413  hdmap14lem15  41593  hgmapdcl  41601  hgmapval1  41604  hgmaprnN  41612