Theorem dvfg 25937

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for 𝑆 = ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvfg	⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem dvfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	recnperf 25936	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Perf)
3	1	perfdvf 25934	. 2 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132  {cpr 4574  dom cdm 5636  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058   ↾_t crest 17421  TopOpenctopn 17422  ℂ_fldccnfld 21393  Perfcperf 23164   D cdv 25894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-icc 13342  df-fz 13499  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-rest 17423  df-topn 17424  df-topgen 17444  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-cnfld 21394  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24349  df-ms 24350  df-limc 25897  df-dv 25898

This theorem is referenced by:  dvf  25938  dvfcn  25939  dvres3  25944  dvres3a  25945  dvcnp  25950  dvnff  25954  dvadd  25971  dvmul  25972  dvaddf  25973  dvmulf  25974  dvcmul  25975  dvcmulf  25976  dvco  25978  dvcof  25979  dvmptcl  25990  dvcnvlem  26007  dvcnv  26008  dvtaylp  26399  ulmdvlem3  26431  ulmdv  26432  dvsubf  46426  dvdivf  46434