Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfi 24015
 Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 rrxdsfi.b . . . 4 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
3 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
52, 3, 4rrxbasefi 24014 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑m 𝐼))
61, 5eqtr4id 2852 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
76adantr 484 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
8 df-refld 20294 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
98oveq1i 7145 . . . . . 6 (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
10 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
11 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
1211, 1eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13123adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14 elmapi 8411 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6828 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
17 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
1817, 1eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19183adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20 elmapi 8411 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6828 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑔𝑘) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 11057 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) ∈ ℝ)
2423resqcld 13607 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2510, 24regsumfsum 20159 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
269, 25syl5req 2846 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
2726fveq2d 6649 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
28273expb 1117 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
296, 7, 28mpoeq123dva 7207 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))))
303, 4rrxds 23997 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
3129, 30eqtr2d 2834 1 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝcr 10525   − cmin 10859  2c2 11680  ↑cexp 13425  √csqrt 14584  Σcsu 15034  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  distcds 16566   Σg cgsu 16706  ℂfldccnfld 20091  ℝfldcrefld 20293  ℝ^crrx 23987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-refld 20294  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-nm 23189  df-tng 23191  df-tcph 23774  df-rrx 23989 This theorem is referenced by:  rrxdsfival  24017  ehleudis  24022  rrndistlt  42930  qndenserrnopnlem  42937  rrndsmet  42942  ioorrnopnlem  42944  hoiqssbllem2  43260
 Copyright terms: Public domain W3C validator