Theorem rrxdsfi 25396

Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxdsfi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b	⊢ 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrxdsfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxdsfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
3		rrxdsfi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5	2, 3, 4	rrxbasefi 25395	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑m 𝐼))
6	1, 5	eqtr4id 2793	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
8		df-refld 21580	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
9	8	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))
10		simp1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
11		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
12	11, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	3adant3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14		elmapi 8786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
16	15	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℝ)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
18	17, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19	18	3adant2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20		elmapi 8786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℝ)
23	16, 22	resubcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘)) ∈ ℝ)
24	23	resqcld 14078	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
25	10, 24	regsumfsum 21410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
26	9, 25	eqtr2id 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
27	26	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
28	27	3expb 1126	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
29	6, 7, 28	mpoeq123dva 7430	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))))
30	3, 4	rrxds 25378	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
31	29, 30	eqtr2d 2775	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℝcr 11028   − cmin 11368  2c2 12227  ↑cexp 14014  √csqrt 15186  Σcsu 15639  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  distcds 17220   Σ_g cgsu 17394  ℂ_fldccnfld 21347  ℝ_fldcrefld 21579  ℝ^crrx 25368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-field 20704  df-staf 20811  df-srng 20812  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-refld 21580  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-nm 24565  df-tng 24567  df-tcph 25154  df-rrx 25370

This theorem is referenced by:  rrxdsfival  25398  ehleudis  25403  rrndistlt  46733  qndenserrnopnlem  46740  rrndsmet  46745  ioorrnopnlem  46747  hoiqssbllem2  47066