MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrxdsfi 25359
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxdsfi.b 𝐡 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π») = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝑓,𝐻,𝑔,π‘˜   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 rrxdsfi.b . . . 4 𝐡 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
3 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
4 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
52, 3, 4rrxbasefi 25358 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜π») = (ℝ ↑m 𝐼))
61, 5eqtr4id 2787 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π»))
76adantr 479 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π»))
8 df-refld 21544 . . . . . . 7 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
98oveq1i 7436 . . . . . 6 (ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
10 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
11 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
1211, 1eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13123adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14 elmapi 8874 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
17 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
1817, 1eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19183adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20 elmapi 8874 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 11680 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14129 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2510, 24regsumfsum 21375 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
269, 25eqtr2id 2781 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
2726fveq2d 6906 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
28273expb 1117 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
296, 7, 28mpoeq123dva 7500 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))))
303, 4rrxds 25341 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))) = (distβ€˜π»))
3129, 30eqtr2d 2769 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π») = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„cr 11145   βˆ’ cmin 11482  2c2 12305  β†‘cexp 14066  βˆšcsqrt 15220  Ξ£csu 15672  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  distcds 17249   Ξ£g cgsu 17429  β„‚fldccnfld 21286  β„fldcrefld 21543  β„^crrx 25331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-nm 24511  df-tng 24513  df-tcph 25117  df-rrx 25333
This theorem is referenced by:  rrxdsfival  25361  ehleudis  25366  rrndistlt  45707  qndenserrnopnlem  45714  rrndsmet  45719  ioorrnopnlem  45721  hoiqssbllem2  46040
  Copyright terms: Public domain W3C validator