MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfi 24778
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxdsfi.b 𝐡 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π») = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝑓,𝐻,𝑔,π‘˜   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 rrxdsfi.b . . . 4 𝐡 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
3 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
4 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
52, 3, 4rrxbasefi 24777 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜π») = (ℝ ↑m 𝐼))
61, 5eqtr4id 2796 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π»))
76adantr 482 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π»))
8 df-refld 21012 . . . . . . 7 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
98oveq1i 7368 . . . . . 6 (ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
10 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
1211, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13123adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14 elmapi 8788 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
1817, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19183adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20 elmapi 8788 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 11584 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14031 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2510, 24regsumfsum 20868 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
269, 25eqtr2id 2790 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
2726fveq2d 6847 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
28273expb 1121 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
296, 7, 28mpoeq123dva 7432 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))))
303, 4rrxds 24760 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))) = (distβ€˜π»))
3129, 30eqtr2d 2778 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π») = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884  β„cr 11051   βˆ’ cmin 11386  2c2 12209  β†‘cexp 13968  βˆšcsqrt 15119  Ξ£csu 15571  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  distcds 17143   Ξ£g cgsu 17323  β„‚fldccnfld 20799  β„fldcrefld 21011  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-nm 23941  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  rrxdsfival  24780  ehleudis  24785  rrndistlt  44538  qndenserrnopnlem  44545  rrndsmet  44550  ioorrnopnlem  44552  hoiqssbllem2  44871
  Copyright terms: Public domain W3C validator