Theorem rrxdsfi 25344

Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxdsfi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b	⊢ 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrxdsfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxdsfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
3		rrxdsfi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5	2, 3, 4	rrxbasefi 25343	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑m 𝐼))
6	1, 5	eqtr4id 2783	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
8		df-refld 21547	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
9	8	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))
10		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
12	11, 1	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14		elmapi 8799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
16	15	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
18	17, 1	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19	18	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20		elmapi 8799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℝ)
23	16, 22	resubcld 11582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘)) ∈ ℝ)
24	23	resqcld 14066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
25	10, 24	regsumfsum 21377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
26	9, 25	eqtr2id 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
27	26	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
28	27	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
29	6, 7, 28	mpoeq123dva 7443	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))))
30	3, 4	rrxds 25326	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
31	29, 30	eqtr2d 2765	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  ℝcr 11043   − cmin 11381  2c2 12217  ↑cexp 14002  √csqrt 15175  Σcsu 15628  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  distcds 17205   Σ_g cgsu 17379  ℂ_fldccnfld 21296  ℝ_fldcrefld 21546  ℝ^crrx 25316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-drng 20651  df-field 20652  df-staf 20759  df-srng 20760  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-cnfld 21297  df-refld 21547  df-dsmm 21674  df-frlm 21689  df-nm 24503  df-tng 24505  df-tcph 25102  df-rrx 25318

This theorem is referenced by:  rrxdsfival  25346  ehleudis  25351  rrndistlt  46281  qndenserrnopnlem  46288  rrndsmet  46293  ioorrnopnlem  46295  hoiqssbllem2  46614