MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfi 23720
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
2 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
3 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
41, 2, 3rrxbasefi 23719 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5 rrxdsfi.b . . . 4 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
64, 5syl6reqr 2833 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
76adantr 473 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
8 df-refld 20454 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
98oveq1i 6988 . . . . . 6 (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
10 simp1 1116 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
11 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
1211, 5syl6eleq 2876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
13123adant3 1112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
14 elmapi 8230 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6678 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
17 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
1817, 5syl6eleq 2876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
19183adant2 1111 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
20 elmapi 8230 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6678 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑔𝑘) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 10871 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) ∈ ℝ)
2423resqcld 13429 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2510, 24regsumfsum 20318 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
269, 25syl5req 2827 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
2726fveq2d 6505 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
28273expb 1100 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
296, 7, 28mpoeq123dva 7048 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))))
302, 3rrxds 23702 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
3129, 30eqtr2d 2815 1 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cmpt 5009  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  cmpo 6980  𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  cr 10336  cmin 10672  2c2 11498  cexp 13247  csqrt 14456  Σcsu 14906  Basecbs 16342  s cress 16343  distcds 16433   Σg cgsu 16573  fldccnfld 20250  fldcrefld 20453  ℝ^crrx 23692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-rnghom 19193  df-drng 19230  df-field 19231  df-subrg 19259  df-staf 19341  df-srng 19342  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-cnfld 20251  df-refld 20454  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-nm 22898  df-tng 22900  df-tcph 23479  df-rrx 23694
This theorem is referenced by:  rrxdsfival  23722  ehleudis  23727  rrndistlt  42007  qndenserrnopnlem  42014  rrndsmet  42019  ioorrnopnlem  42021  hoiqssbllem2  42337
  Copyright terms: Public domain W3C validator