MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrxdsfi 24919
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxdsfi.b 𝐡 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π») = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝑓,𝐻,𝑔,π‘˜   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 rrxdsfi.b . . . 4 𝐡 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
3 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
52, 3, 4rrxbasefi 24918 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜π») = (ℝ ↑m 𝐼))
61, 5eqtr4id 2791 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π»))
76adantr 481 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π»))
8 df-refld 21149 . . . . . . 7 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
98oveq1i 7415 . . . . . 6 (ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
10 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
1211, 1eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13123adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14 elmapi 8839 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
1817, 1eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19183adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20 elmapi 8839 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 11638 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14086 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2510, 24regsumfsum 21005 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
269, 25eqtr2id 2785 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
2726fveq2d 6892 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
28273expb 1120 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
296, 7, 28mpoeq123dva 7479 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))))
303, 4rrxds 24901 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π»), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))) = (distβ€˜π»))
3129, 30eqtr2d 2773 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π») = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„cr 11105   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  Ξ£csu 15628  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  distcds 17202   Ξ£g cgsu 17382  β„‚fldccnfld 20936  β„fldcrefld 21148  β„^crrx 24891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-nm 24082  df-tng 24084  df-tcph 24677  df-rrx 24893
This theorem is referenced by:  rrxdsfival  24921  ehleudis  24926  rrndistlt  44992  qndenserrnopnlem  44999  rrndsmet  45004  ioorrnopnlem  45006  hoiqssbllem2  45325
  Copyright terms: Public domain W3C validator