MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfi 23941
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
2 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
3 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
41, 2, 3rrxbasefi 23940 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑m 𝐼))
5 rrxdsfi.b . . . 4 𝐵 = (ℝ ↑m 𝐼)
64, 5syl6reqr 2872 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
76adantr 481 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
8 df-refld 20677 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
98oveq1i 7155 . . . . . 6 (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
10 simp1 1128 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
1211, 5eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13123adant3 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14 elmapi 8417 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6843 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
1817, 5eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
19183adant2 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
20 elmapi 8417 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6843 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑔𝑘) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 11056 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) ∈ ℝ)
2423resqcld 13599 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2510, 24regsumfsum 20541 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
269, 25syl5req 2866 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
2726fveq2d 6667 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
28273expb 1112 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
296, 7, 28mpoeq123dva 7217 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))))
302, 3rrxds 23923 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
3129, 30eqtr2d 2854 1 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  Fincfn 8497  cr 10524  cmin 10858  2c2 11680  cexp 13417  csqrt 14580  Σcsu 15030  Basecbs 16471  s cress 16472  distcds 16562   Σg cgsu 16702  fldccnfld 20473  fldcrefld 20676  ℝ^crrx 23913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-nm 23119  df-tng 23121  df-tcph 23700  df-rrx 23915
This theorem is referenced by:  rrxdsfival  23943  ehleudis  23948  rrndistlt  42452  qndenserrnopnlem  42459  rrndsmet  42464  ioorrnopnlem  42466  hoiqssbllem2  42782
  Copyright terms: Public domain W3C validator