Theorem aks6d1c1p4 42803

Description: The product of polynomials is introspective. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1p4.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1p4.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1p4.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1p4.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1p4.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1p4.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1p4.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1p4.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1p4.9	⊢ 𝐷 = (.g‘𝑊)
aks6d1c1p4.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1p4.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1p4.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1p4.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1p4.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1p4.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1p4.16	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p4.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1p4.18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p4.19	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐹(+g‘𝑊)𝐺))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝐵,𝑒,𝑓   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝐺,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝑒,𝑊,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐷(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   + (𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p4

Dummy variables 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p4.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
2		aks6d1c1p4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		aks6d1c1p4.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		aks6d1c1p4.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
8		aks6d1c1p4.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
9	8, 3	mgpbas 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
10		aks6d1c1p4.7	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
11	8	crngmgp 20323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
12	6, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
13	12	cmnmndd 19874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
14	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ Mnd)
15		aks6d1c1p4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
16		aks6d1c1p4.18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
17	15, 16	aks6d1c1p1rcl 42800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
18	17	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
19	18	nnnn0d 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
20	19	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
21		aks6d1c1p4.15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
23		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘𝑉) = (.g‘𝑉)
24	12, 22, 23	isprimroot 42785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
26	25	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙)))
27	26	simp1d 1158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
28	27, 9	eleqtrrdi 2880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
29	9, 10, 14, 20, 28	mulgnn0cld 19161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
30	17	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
32		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
33	31, 32	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
34		aks6d1c1p4.19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐺)
35	15, 34	aks6d1c1p1rcl 42800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝐵))
36	35	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
38		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
39	37, 38	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
40		aks6d1c1p4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
41		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
42	40, 41	mgpplusg 20220	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑊)
43	42	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (.r‘𝑆)
44		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
45	1, 2, 3, 4, 7, 29, 33, 39, 43, 44	evl1muld 22472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))))
46	45	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
47	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ CMnd)
48	1, 2, 3, 4, 7, 28, 31	fveval1fvcl 22462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
49	8	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = 𝑉
50	49	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝑉)
51	9, 50	eqtr4i 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
53	52	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
54	48, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
55	1, 2, 3, 4, 7, 28, 37	fveval1fvcl 22462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
56	52	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
57	55, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
58	20, 54, 57	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
59	49	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (+g‘𝑉)
60	50, 10, 59	mulgnn0di 19895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ CMnd ∧ (𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))(+g‘(mulGrp‘𝐾))(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
61	47, 58, 60	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))(+g‘(mulGrp‘𝐾))(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
62	8, 44	mgpplusg 20220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘𝑉)
63	8	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑉) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
64	62, 63	eqtri 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
66	65	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.r‘𝐾))
67		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
68	67	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
69		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ 𝑧) = (𝐸 ↑ 𝑦))
70	69	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
71	68, 70	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
72	15, 30, 18	aks6d1c1p1 42799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
73	16, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
74		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑧))
75	74	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)))
76		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐸 ↑ 𝑦) = (𝐸 ↑ 𝑧))
77	76	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
78	75, 77	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧))))
79	78	cbvralvw 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
80	73, 79	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
81	80	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
82		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅))
83	71, 81, 82	rspcdva 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
84		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))
85	84	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
86	69	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
87	85, 86	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
88	15, 36, 18	aks6d1c1p1 42799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
89	34, 88	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
90		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑧))
91	90	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)))
92	76	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
93	91, 92	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧))))
94	93	cbvralvw 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
95	89, 94	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
96	95	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
97	87, 96, 82	rspcdva 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
98	66, 83, 97	oveq123d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))(+g‘(mulGrp‘𝐾))(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
99	61, 98	eqtr2d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
100	64	eqcomi 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.r‘𝐾)
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.r‘𝐾))
102	101	oveqd 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
103	102	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
104	99, 103	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
105		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
106	31, 105	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
107		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))
108	37, 107	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
109	1, 2, 3, 4, 7, 28, 106, 108, 43, 44	evl1muld 22472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦) = (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
110	109	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦) = (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
111	110	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦))
112	111	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)))
113	104, 112	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)))
114	46, 113	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)))
115	114	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
116	115	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
117	2	ply1crng 22327	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑆 ∈ CRing)
118	6, 117	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
119	118	crngringd 20328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
120	4, 43, 119, 30, 36	ringcld 20342	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ∈ 𝐵)
121	15, 120, 18	aks6d1c1p1 42799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ (𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
122	116, 121	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐹(+g‘𝑊)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   class class class wbr 5111  {copab 5175  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504   ∥ cdvds 16310   gcd cgcd 16552  ℙcprime 16729  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792  ._gcmg 19133  CMndccmn 19850  mulGrpcmgp 20216  CRingccrg 20316  Fieldcfield 20814  chrcchr 21620  algSccascl 21971  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  eval₁ce1 22443   PrimRoots cprimroots 42783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-field 20816  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-ply1 22311  df-evl1 22445  df-primroots 42784

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p6  42806  aks6d1c1  42808