Theorem aks6d1c1p4 42962

Description: The product of polynomials is introspective. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1p4.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1p4.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1p4.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1p4.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1p4.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1p4.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1p4.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1p4.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1p4.9	⊢ 𝐷 = (.g‘𝑊)
aks6d1c1p4.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1p4.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1p4.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1p4.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1p4.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1p4.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1p4.16	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p4.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1p4.18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p4.19	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐹(+g‘𝑊)𝐺))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝐵,𝑒,𝑓   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝐺,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝑒,𝑊,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐷(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑃(𝑦, 𝑒, 𝑓)   + (𝑦, 𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐾(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑁(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑋(𝑦, 𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p4

Dummy variables 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p4.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
2		aks6d1c1p4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		aks6d1c1p4.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		aks6d1c1p4.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
8		aks6d1c1p4.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
9	8, 3	mgpbas 20277	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
10		aks6d1c1p4.7	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
11	8	crngmgp 20379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
12	6, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
13	12	cmnmndd 19930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ Mnd)
15		aks6d1c1p4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
16		aks6d1c1p4.18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
17	15, 16	aks6d1c1p1rcl 42959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
18	17	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
19	18	nnnn0d 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
21		aks6d1c1p4.15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘𝑉) = (.g‘𝑉)
24	12, 22, 23	isprimroot 42944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
26	25	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑉)𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙)))
27	26	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
28	27, 9	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
29	9, 10, 14, 20, 28	mulgnn0cld 19217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
30	17	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
32		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
33	31, 32	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
34		aks6d1c1p4.19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐺)
35	15, 34	aks6d1c1p1rcl 42959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝐵))
36	35	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
38		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
39	37, 38	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
40		aks6d1c1p4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
41		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
42	40, 41	mgpplusg 20276	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑊)
43	42	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (.r‘𝑆)
44		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
45	1, 2, 3, 4, 7, 29, 33, 39, 43, 44	evl1muld 22567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))))
46	45	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
47	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ CMnd)
48	1, 2, 3, 4, 7, 28, 31	fveval1fvcl 22557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
49	8	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = 𝑉
50	49	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝑉)
51	9, 50	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
53	52	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
54	48, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
55	1, 2, 3, 4, 7, 28, 37	fveval1fvcl 22557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
56	52	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
57	55, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
58	20, 54, 57	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
59	49	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (+g‘𝑉)
60	50, 10, 59	mulgnn0di 19951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ CMnd ∧ (𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))(+g‘(mulGrp‘𝐾))(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
61	47, 58, 60	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))(+g‘(mulGrp‘𝐾))(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
62	8, 44	mgpplusg 20276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘𝑉)
63	8	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑉) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
64	62, 63	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
66	65	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.r‘𝐾))
67		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
68	67	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
69		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ 𝑧) = (𝐸 ↑ 𝑦))
70	69	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
71	68, 70	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
72	15, 30, 18	aks6d1c1p1 42958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
73	16, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
74		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑧))
75	74	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)))
76		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐸 ↑ 𝑦) = (𝐸 ↑ 𝑧))
77	76	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
78	75, 77	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧))))
79	78	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
80	73, 79	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
82		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅))
83	71, 81, 82	rspcdva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
84		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))
85	84	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
86	69	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
87	85, 86	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
88	15, 36, 18	aks6d1c1p1 42958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
89	34, 88	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
90		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑧))
91	90	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)))
92	76	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
93	91, 92	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧))))
94	93	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
95	89, 94	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
96	95	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
97	87, 96, 82	rspcdva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
98	66, 83, 97	oveq123d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))(+g‘(mulGrp‘𝐾))(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
99	61, 98	eqtr2d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
100	64	eqcomi 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.r‘𝐾)
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.r‘𝐾))
102	101	oveqd 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
103	102	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
104	99, 103	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
105		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
106	31, 105	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
107		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑦))
108	37, 107	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
109	1, 2, 3, 4, 7, 28, 106, 108, 43, 44	evl1muld 22567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦) = (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))))
110	109	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦) = (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦)))
111	110	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦))
112	111	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦)(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘𝑦))) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)))
113	104, 112	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))(.r‘𝐾)((𝑂‘𝐺)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)))
114	46, 113	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)))
115	114	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
116	115	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
117	2	ply1crng 22422	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑆 ∈ CRing)
118	6, 117	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
119	118	crngringd 20384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
120	4, 43, 119, 30, 36	ringcld 20395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ∈ 𝐵)
121	15, 120, 18	aks6d1c1p1 42958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ (𝐹(+g‘𝑊)𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘𝑦)) = ((𝑂‘(𝐹(+g‘𝑊)𝐺))‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
122	116, 121	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ (𝐹(+g‘𝑊)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  {copab 5171  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11126  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529   ∥ cdvds 16344   gcd cgcd 16586  ℙcprime 16763  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  ._rcmulr 17345  0_gc0g 17526  Mndcmnd 18836  ._gcmg 19189  CMndccmn 19906  mulGrpcmgp 20272  CRingccrg 20372  Fieldcfield 20890  chrcchr 21713  algSccascl 22066  var₁cv1 22400  Poly₁cpl1 22401  eval₁ce1 22538   PrimRoots cprimroots 42942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-srg 20325  df-ring 20373  df-cring 20374  df-rhm 20612  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-field 20892  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-assa 22067  df-asp 22068  df-ascl 22069  df-psr 22123  df-mvr 22124  df-mpl 22125  df-opsr 22127  df-evls 22289  df-evl 22290  df-psr1 22404  df-ply1 22406  df-evl1 22540  df-primroots 42943

This theorem is used by:  aks6d1c1p6  42965  aks6d1c1  42967