Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvsum 31826
 Description: An indexed sum of random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvsum.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvsum.2 (𝜑𝑋:ℕ⟶(rRndVar‘𝑃))
rrvsum.3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
rrvsum ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvsum
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvsum.3 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
2 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1))
32eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
43imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
5 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛))
65eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
76imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
8 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)))
98eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
109imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
11 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
1211eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
1312imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
14 1z 12004 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
15 seq1 13381 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) = (𝑋‘1))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) = (𝑋‘1)
17 1nn 11640 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
18 rrvsum.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑋:ℕ⟶(rRndVar‘𝑃))
1918ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
2017, 19mpan2 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
2116, 20eqeltrid 2897 . . . 4 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
22 seqp1 13383 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
23 nnuz 12273 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
2422, 23eleq2s 2911 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
2524ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
26 rrvsum.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Prob)
28 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃))
29 peano2nn 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
3018ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3129, 30sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3231adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3327, 28, 32rrvadd 31824 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3425, 33eqeltrd 2893 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3534ex 416 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
3635expcom 417 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
3736a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
384, 7, 10, 13, 21, 37nnind 11647 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
3938impcom 411 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃))
401, 39eqeltrd 2893 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (rRndVar‘𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391  1c1 10531   + caddc 10533  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  seqcseq 13368  Probcprb 31779  rRndVarcrrv 31812 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-refld 20298  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-fcls 22550  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-cfil 23863  df-cmet 23865  df-cms 23943  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153  df-logb 25355  df-esum 31401  df-siga 31482  df-sigagen 31512  df-brsiga 31555  df-sx 31562  df-meas 31569  df-mbfm 31623  df-prob 31780  df-rrv 31813 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator