Theorem rrvsum 34486

Description: An indexed sum of random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrvsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvsum.2	⊢ (𝜑 → 𝑋:ℕ⟶(rRndVar‘𝑃))
rrvsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
rrvsum	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvsum

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrvsum.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
2		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1))
3	2	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
5		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛))
6	5	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
7	6	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
8		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)))
9	8	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
11		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
12	11	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
13	12	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
14		1z 12622	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		seq1 14032	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) = (𝑋‘1))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) = (𝑋‘1)
17		1nn 12251	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		rrvsum.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:ℕ⟶(rRndVar‘𝑃))
19	18	ffvelcdmda 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
20	17, 19	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
21	16, 20	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
22		seqp1 14034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
23		nnuz 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	22, 23	eleq2s 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
25	24	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
26		rrvsum.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Prob)
28		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃))
29		peano2nn 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
30	18	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
33	27, 28, 32	rrvadd 34484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))) ∈ (rRndVar‘𝑃))
34	25, 33	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
35	34	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
36	35	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
37	36	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
38	4, 7, 10, 13, 21, 37	nnind 12258	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
39	38	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃))
40	1, 39	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669  1c1 11130   + caddc 11132  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  seqcseq 14019  Probcprb 34439  rRndVarcrrv 34472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-refld 21565  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-fcls 23879  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-cfil 25207  df-cmet 25209  df-cms 25287  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-logb 26727  df-esum 34059  df-siga 34140  df-sigagen 34170  df-brsiga 34213  df-sx 34220  df-meas 34227  df-mbfm 34281  df-prob 34440  df-rrv 34473

This theorem is referenced by: (None)