Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrvsum 33442
Description: An indexed sum of random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvsum.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
rrvsum.2 (πœ‘ β†’ 𝑋:β„•βŸΆ(rRndVarβ€˜π‘ƒ))
rrvsum.3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
rrvsum ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem rrvsum
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvsum.3 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘))
2 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = 1 β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) = (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜1))
32eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘˜ = 1 β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜1) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)))
43imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜1) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))))
5 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) = (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›))
65eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)))
76imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))))
8 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) = (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)))
98eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)))
109imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))))
11 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) = (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘))
1211eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)))
1312imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘˜) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))))
14 1z 12589 . . . . . 6 1 ∈ β„€
15 seq1 13976 . . . . . 6 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜1) = (π‘‹β€˜1))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜1) = (π‘‹β€˜1)
17 1nn 12220 . . . . . 6 1 ∈ β„•
18 rrvsum.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋:β„•βŸΆ(rRndVarβ€˜π‘ƒ))
1918ffvelcdmda 7084 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
2017, 19mpan2 690 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
2116, 20eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜1) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
22 seqp1 13978 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∘f + (π‘‹β€˜(𝑛 + 1))))
23 nnuz 12862 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2422, 23eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∘f + (π‘‹β€˜(𝑛 + 1))))
2524ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∘f + (π‘‹β€˜(𝑛 + 1))))
26 rrvsum.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
28 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
29 peano2nn 12221 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
3018ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3327, 28, 32rrvadd 33440 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∘f + (π‘‹β€˜(𝑛 + 1))) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3425, 33eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3534ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)))
3635expcom 415 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))))
3736a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘›) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))))
384, 7, 10, 13, 21, 37nnind 12227 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)))
3938impcom 409 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝑋)β€˜π‘) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
401, 39eqeltrd 2834 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘f cof 7665  1c1 11108   + caddc 11110  β„•cn 12209  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  seqcseq 13963  Probcprb 33395  rRndVarcrrv 33428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-refld 21150  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-fcls 23437  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-cfil 24764  df-cmet 24766  df-cms 24844  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cxp 26058  df-logb 26260  df-esum 33015  df-siga 33096  df-sigagen 33126  df-brsiga 33169  df-sx 33176  df-meas 33183  df-mbfm 33237  df-prob 33396  df-rrv 33429
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator