Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvsum 32400
Description: An indexed sum of random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvsum.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvsum.2 (𝜑𝑋:ℕ⟶(rRndVar‘𝑃))
rrvsum.3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
rrvsum ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvsum
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvsum.3 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
2 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1))
32eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
5 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛))
65eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
76imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
8 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)))
98eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
11 fveq2 6768 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) = (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁))
1211eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
1312imbi2d 340 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑘) ∈ (rRndVar‘𝑃)) ↔ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
14 1z 12333 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
15 seq1 13715 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) = (𝑋‘1))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) = (𝑋‘1)
17 1nn 11967 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
18 rrvsum.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑋:ℕ⟶(rRndVar‘𝑃))
1918ffvelrnda 6955 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
2017, 19mpan2 687 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
2116, 20eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘1) ∈ (rRndVar‘𝑃))
22 seqp1 13717 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
23 nnuz 12603 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
2422, 23eleq2s 2858 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
2524ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))))
26 rrvsum.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2726ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Prob)
28 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃))
29 peano2nn 11968 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
3018ffvelrnda 6955 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3129, 30sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (𝑋‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3327, 28, 32rrvadd 32398 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∘f + (𝑋‘(𝑛 + 1))) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3425, 33eqeltrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))
3534ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
3635expcom 413 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
3736a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑛) ∈ (rRndVar‘𝑃)) → (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘(𝑛 + 1)) ∈ (rRndVar‘𝑃))))
384, 7, 10, 13, 21, 37nnind 11974 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃)))
3938impcom 407 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , 𝑋)‘𝑁) ∈ (rRndVar‘𝑃))
401, 39eqeltrd 2840 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  f cof 7522  1c1 10856   + caddc 10858  cn 11956  cz 12302  cuz 12564  seqcseq 13702  Probcprb 32353  rRndVarcrrv 32386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-ac2 10203  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-omul 8286  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-acn 9684  df-ac 9856  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ioc 13066  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-shft 14759  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-ef 15758  df-sin 15760  df-cos 15761  df-pi 15763  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-refld 20791  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-lp 22268  df-perf 22269  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-cmp 22519  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-fcls 23073  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-cncf 24022  df-cfil 24400  df-cmet 24402  df-cms 24480  df-limc 25011  df-dv 25012  df-log 25693  df-cxp 25694  df-logb 25896  df-esum 31975  df-siga 32056  df-sigagen 32086  df-brsiga 32129  df-sx 32136  df-meas 32143  df-mbfm 32197  df-prob 32354  df-rrv 32387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator