Theorem hhssba 30317

Description: The base set of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssba.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssba	⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhssba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		hhsssh2.1	. 2 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3		hhssba.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	1, 2	hhsst 30312	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
6	3	shssii 30259	. 2 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
7	1, 2, 5, 6	hhshsslem1 30313	1 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4619   × cxp 5658   ↾ cres 5662  ‘cfv 6523  ℂcc 11080  BaseSetcba 29632  SubSpcss 29767   +_ℎ cva 29966   ·_ℎ csm 29967  norm_ℎcno 29969   S_ℋ csh 29974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160  ax-addf 11161  ax-mulf 11162  ax-hilex 30045  ax-hfvadd 30046  ax-hvcom 30047  ax-hvass 30048  ax-hv0cl 30049  ax-hvaddid 30050  ax-hfvmul 30051  ax-hvmulid 30052  ax-hvmulass 30053  ax-hvdistr1 30054  ax-hvdistr2 30055  ax-hvmul0 30056  ax-hfi 30125  ax-his1 30128  ax-his2 30129  ax-his3 30130  ax-his4 30131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-map 8796  df-pm 8797  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11844  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-q 12905  df-rp 12947  df-xneg 13064  df-xadd 13065  df-xmul 13066  df-icc 13303  df-seq 13939  df-exp 14000  df-cj 15018  df-re 15019  df-im 15020  df-sqrt 15154  df-abs 15155  df-topgen 17361  df-psmet 20847  df-xmet 20848  df-met 20849  df-bl 20850  df-mopn 20851  df-top 22302  df-topon 22319  df-bases 22355  df-lm 22639  df-haus 22725  df-grpo 29539  df-gid 29540  df-ginv 29541  df-gdiv 29542  df-ablo 29591  df-vc 29605  df-nv 29638  df-va 29641  df-ba 29642  df-sm 29643  df-0v 29644  df-vs 29645  df-nmcv 29646  df-ims 29647  df-ssp 29768  df-hnorm 30014  df-hba 30015  df-hvsub 30017  df-hlim 30018  df-sh 30253  df-ch 30267  df-ch0 30299

This theorem is referenced by:  hhssvs  30318  hhssvsf  30319  hhssmet  30322  hhssmetdval  30323  hhssbnOLD  30325  pjhthlem2  30438