Theorem hlimreui 31723

Description: The limit of a Hilbert space sequence is unique. (Contributed by NM, 19-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimreui	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻

Proof of Theorem hlimreui

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimuni 31722	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
2	1	rgen2w 3081	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
3	2	biantru 539	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
4		breq2 5107	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦))
5	4	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
6	3, 5	bitr4i 281	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5103   ⇝_𝑣 chli 31411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvmulass 31491  ax-hvdistr1 31492  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567  ax-his3 31568  ax-his4 31569

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-icc 13408  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-lm 23457  df-haus 23543  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-hnorm 31452  df-hvsub 31455  df-hlim 31456

This theorem is used by:  hlimeui  31724