Theorem hlimreui 31664

Description: The limit of a Hilbert space sequence is unique. (Contributed by NM, 19-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimreui	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻

Proof of Theorem hlimreui

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimuni 31663	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
2	1	rgen2w 3086	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
3	2	biantru 539	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
4		breq2 5115	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦))
5	4	reu4 3696	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
6	3, 5	bitr4i 281	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3369   class class class wbr 5111   ⇝_𝑣 chli 31352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197  ax-hilex 31424  ax-hfvadd 31425  ax-hvcom 31426  ax-hvass 31427  ax-hv0cl 31428  ax-hvaddid 31429  ax-hfvmul 31430  ax-hvmulid 31431  ax-hvmulass 31432  ax-hvdistr1 31433  ax-hvdistr2 31434  ax-hvmul0 31435  ax-hfi 31504  ax-his1 31507  ax-his2 31508  ax-his3 31509  ax-his4 31510

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-lm 23438  df-haus 23524  df-grpo 30918  df-gid 30919  df-ginv 30920  df-gdiv 30921  df-ablo 30970  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-vs 31024  df-nmcv 31025  df-ims 31026  df-hnorm 31393  df-hvsub 31396  df-hlim 31397

This theorem is used by:  hlimeui  31665