Theorem hlimreui 29106

Description: The limit of a Hilbert space sequence is unique. (Contributed by NM, 19-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimreui	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻

Proof of Theorem hlimreui

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimuni 29105	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
2	1	rgen2w 3081	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
3	2	biantru 534	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
4		breq2 5029	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦))
5	4	reu4 3642	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
6	3, 5	bitr4i 281	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wral 3068  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3070   class class class wbr 5025   ⇝_𝑣 chli 28794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640  ax-hilex 28866  ax-hfvadd 28867  ax-hvcom 28868  ax-hvass 28869  ax-hv0cl 28870  ax-hvaddid 28871  ax-hfvmul 28872  ax-hvmulid 28873  ax-hvmulass 28874  ax-hvdistr1 28875  ax-hvdistr2 28876  ax-hvmul0 28877  ax-hfi 28946  ax-his1 28949  ax-his2 28950  ax-his3 28951  ax-his4 28952

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-sup 8924  df-inf 8925  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-icc 12771  df-seq 13404  df-exp 13465  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-topgen 16760  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-top 21579  df-topon 21596  df-bases 21631  df-lm 21914  df-haus 22000  df-grpo 28360  df-gid 28361  df-ginv 28362  df-gdiv 28363  df-ablo 28412  df-vc 28426  df-nv 28459  df-va 28462  df-ba 28463  df-sm 28464  df-0v 28465  df-vs 28466  df-nmcv 28467  df-ims 28468  df-hnorm 28835  df-hvsub 28838  df-hlim 28839

This theorem is referenced by:  hlimeui  29107