Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlmod 38113
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlmod (𝜑𝑈 ∈ LMod)

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvhlvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 38112 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
5 lveclmod 19798 . 2 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
64, 5syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  LModclmod 19554  LVecclvec 19794  HLchlt 36353  LHypclh 36987  DVecHcdvh 38081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 35956
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-undef 7930  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-0g 16705  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-lmod 19556  df-lvec 19795  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-llines 36501  df-lplanes 36502  df-lvols 36503  df-lines 36504  df-psubsp 36506  df-pmap 36507  df-padd 36799  df-lhyp 36991  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108  df-trl 37162  df-tendo 37758  df-edring 37760  df-dvech 38082
This theorem is referenced by:  dvh0g  38114  dvhopellsm  38120  dib1dim2  38171  diclspsn  38197  cdlemn4a  38202  cdlemn5pre  38203  cdlemn11c  38212  dihjustlem  38219  dihord1  38221  dihord2a  38222  dihord2b  38223  dihord11c  38227  dihlsscpre  38237  dihvalcqat  38242  dihord6apre  38259  dihord5b  38262  dihord5apre  38265  dih0vbN  38285  dihglblem5  38301  dihjatc3  38316  dihmeetlem9N  38318  dihmeetlem13N  38322  dihmeetlem16N  38325  dihmeetlem19N  38328  dih1dimatlem  38332  dihlsprn  38334  dihlspsnat  38336  dihatlat  38337  dihatexv  38341  dihglblem6  38343  dochspss  38381  dochocsp  38382  dochspocN  38383  dochsncom  38385  dochsat  38386  dochshpncl  38387  dochlkr  38388  dochkrshp  38389  dochnoncon  38394  dochnel  38396  djhsumss  38410  djhunssN  38412  djhlsmcl  38417  dihjatcclem1  38421  dihjatcclem2  38422  dihjat  38426  dihprrnlem1N  38427  dihprrnlem2  38428  dihprrn  38429  djhlsmat  38430  dihjat1lem  38431  dihjat1  38432  dihsmsprn  38433  dihjat2  38434  dihsmatrn  38439  dvh3dimatN  38442  dvh2dimatN  38443  dvh1dim  38445  dvh4dimlem  38446  dvhdimlem  38447  dvh2dim  38448  dvh3dim  38449  dvh4dimN  38450  dvh3dim2  38451  dvh3dim3N  38452  dochsatshp  38454  dochsatshpb  38455  dochsnshp  38456  dochshpsat  38457  dochkrsat  38458  dochkrsat2  38459  dochkrsm  38461  dochexmidlem1  38463  dochexmidlem2  38464  dochexmidlem4  38466  dochexmidlem5  38467  dochexmidlem6  38468  dochexmidlem7  38469  dochexmidlem8  38470  dochexmid  38471  dochsnkrlem1  38472  dochsnkr  38475  dochsnkr2cl  38477  dochfl1  38479  dochfln0  38480  dochkr1  38481  dochkr1OLDN  38482  lcfl4N  38498  lcfl5  38499  lcfl6lem  38501  lcfl7lem  38502  lcfl6  38503  lcfl8  38505  lcfl8b  38507  lcfl9a  38508  lclkrlem1  38509  lclkrlem2a  38510  lclkrlem2b  38511  lclkrlem2c  38512  lclkrlem2e  38514  lclkrlem2f  38515  lclkrlem2h  38517  lclkrlem2j  38519  lclkrlem2k  38520  lclkrlem2o  38524  lclkrlem2p  38525  lclkrlem2r  38527  lclkrlem2s  38528  lclkrlem2u  38530  lclkrlem2v  38531  lclkrlem2  38535  lclkr  38536  lclkrslem1  38540  lclkrslem2  38541  lclkrs  38542  lcfrvalsnN  38544  lcfrlem4  38548  lcfrlem5  38549  lcfrlem6  38550  lcfrlem7  38551  lcfrlem9  38553  lcfrlem12N  38557  lcfrlem15  38560  lcfrlem16  38561  lcfrlem17  38562  lcfrlem19  38564  lcfrlem20  38565  lcfrlem21  38566  lcfrlem23  38568  lcfrlem25  38570  lcfrlem26  38571  lcfrlem28  38573  lcfrlem29  38574  lcfrlem30  38575  lcfrlem31  38576  lcfrlem33  38578  lcfrlem35  38580  lcfrlem36  38581  lcfrlem37  38582  lcfrlem40  38585  lcfrlem42  38587  lcfr  38588  lcdvbase  38596  lcdvbasecl  38599  lcdvaddval  38601  lcdsca  38602  lcdvsval  38607  lcd0v  38614  lcd0v2  38615  lcdvsubval  38621  lcdlss  38622  lcdlsp  38624  mapdval2N  38633  mapdordlem2  38640  mapdsn  38644  mapd1dim2lem1N  38647  mapdrvallem2  38648  mapdunirnN  38653  mapdcv  38663  mapdin  38665  mapdlsm  38667  mapd0  38668  mapdcnvatN  38669  mapdat  38670  mapdspex  38671  mapdn0  38672  mapdncol  38673  mapdindp  38674  mapdpglem1  38675  mapdpglem2  38676  mapdpglem2a  38677  mapdpglem3  38678  mapdpglem4N  38679  mapdpglem5N  38680  mapdpglem6  38681  mapdpglem8  38682  mapdpglem9  38683  mapdpglem12  38686  mapdpglem13  38687  mapdpglem14  38688  mapdpglem17N  38691  mapdpglem18  38692  mapdpglem19  38693  mapdpglem20  38694  mapdpglem21  38695  mapdpglem23  38697  mapdpglem30a  38698  mapdpglem30b  38699  mapdpglem29  38703  mapdpglem30  38705  mapdheq2  38732  mapdheq4lem  38734  mapdh6lem1N  38736  mapdh6lem2N  38737  mapdh6aN  38738  mapdh6b0N  38739  mapdh6bN  38740  mapdh6cN  38741  mapdh6dN  38742  mapdh6eN  38743  mapdh6gN  38745  mapdh6hN  38746  mapdh6iN  38747  mapdh8ab  38780  mapdh8ad  38782  mapdh8e  38787  mapdh9a  38792  mapdh9aOLDN  38793  hdmap1val0  38802  hdmap1l6lem1  38810  hdmap1l6lem2  38811  hdmap1l6a  38812  hdmap1l6b0N  38813  hdmap1l6b  38814  hdmap1l6c  38815  hdmap1l6d  38816  hdmap1l6e  38817  hdmap1l6g  38819  hdmap1l6h  38820  hdmap1l6i  38821  hdmap1eulem  38825  hdmap1eulemOLDN  38826  hdmapval0  38836  hdmapeveclem  38837  hdmapval3lemN  38840  hdmap10lem  38842  hdmap10  38843  hdmap11lem1  38844  hdmap11lem2  38845  hdmapeq0  38847  hdmapneg  38849  hdmapsub  38850  hdmap11  38851  hdmaprnlem1N  38852  hdmaprnlem3N  38853  hdmaprnlem3uN  38854  hdmaprnlem4tN  38855  hdmaprnlem4N  38856  hdmaprnlem6N  38857  hdmaprnlem8N  38859  hdmaprnlem9N  38860  hdmaprnlem3eN  38861  hdmaprnlem16N  38865  hdmaprnlem17N  38866  hdmap14lem1a  38869  hdmap14lem2a  38870  hdmap14lem2N  38872  hdmap14lem3  38873  hdmap14lem4a  38874  hdmap14lem6  38876  hdmap14lem8  38878  hdmap14lem9  38879  hdmap14lem10  38880  hdmap14lem11  38881  hdmap14lem13  38883  hgmapval0  38895  hgmapval1  38896  hgmapadd  38897  hgmapmul  38898  hgmaprnlem2N  38900  hgmaprnlem3N  38901  hgmap11  38905  hgmapeq0  38907  hdmapln1  38909  hdmaplna1  38910  hdmaplns1  38911  hdmaplnm1  38912  hdmapgln2  38915  hdmaplkr  38916  hdmapellkr  38917  hdmapip0  38918  hdmapinvlem1  38921  hdmapinvlem3  38923  hdmapinvlem4  38924  hdmapglem5  38925  hgmapvvlem1  38926  hgmapvvlem3  38928  hdmapglem7a  38930  hdmapglem7b  38931  hdmapglem7  38932  hdmapoc  38934  hlhilphllem  38962
  Copyright terms: Public domain W3C validator