Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlmod 39981
Description: The full vector space π‘ˆ constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane π‘Š) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhlvec.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhlvec.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlmod (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhlvec.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhlvec.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 39980 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5 lveclmod 20717 . 2 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
64, 5syl 17 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dvech 39950
This theorem is referenced by:  dvh0g  39982  dvhopellsm  39988  dib1dim2  40039  diclspsn  40065  cdlemn4a  40070  cdlemn5pre  40071  cdlemn11c  40080  dihjustlem  40087  dihord1  40089  dihord2a  40090  dihord2b  40091  dihord11c  40095  dihlsscpre  40105  dihvalcqat  40110  dihord6apre  40127  dihord5b  40130  dihord5apre  40133  dih0vbN  40153  dihglblem5  40169  dihjatc3  40184  dihmeetlem9N  40186  dihmeetlem13N  40190  dihmeetlem16N  40193  dihmeetlem19N  40196  dih1dimatlem  40200  dihlsprn  40202  dihlspsnat  40204  dihatlat  40205  dihatexv  40209  dihglblem6  40211  dochspss  40249  dochocsp  40250  dochspocN  40251  dochsncom  40253  dochsat  40254  dochshpncl  40255  dochlkr  40256  dochkrshp  40257  dochnoncon  40262  dochnel  40264  djhsumss  40278  djhunssN  40280  djhlsmcl  40285  dihjatcclem1  40289  dihjatcclem2  40290  dihjat  40294  dihprrnlem1N  40295  dihprrnlem2  40296  dihprrn  40297  djhlsmat  40298  dihjat1lem  40299  dihjat1  40300  dihsmsprn  40301  dihjat2  40302  dihsmatrn  40307  dvh3dimatN  40310  dvh2dimatN  40311  dvh1dim  40313  dvh4dimlem  40314  dvhdimlem  40315  dvh2dim  40316  dvh3dim  40317  dvh4dimN  40318  dvh3dim2  40319  dvh3dim3N  40320  dochsatshp  40322  dochsatshpb  40323  dochsnshp  40324  dochshpsat  40325  dochkrsat  40326  dochkrsat2  40327  dochkrsm  40329  dochexmidlem1  40331  dochexmidlem2  40332  dochexmidlem4  40334  dochexmidlem5  40335  dochexmidlem6  40336  dochexmidlem7  40337  dochexmidlem8  40338  dochexmid  40339  dochsnkrlem1  40340  dochsnkr  40343  dochsnkr2cl  40345  dochfl1  40347  dochfln0  40348  dochkr1  40349  dochkr1OLDN  40350  lcfl4N  40366  lcfl5  40367  lcfl6lem  40369  lcfl7lem  40370  lcfl6  40371  lcfl8  40373  lcfl8b  40375  lcfl9a  40376  lclkrlem1  40377  lclkrlem2a  40378  lclkrlem2b  40379  lclkrlem2c  40380  lclkrlem2e  40382  lclkrlem2f  40383  lclkrlem2h  40385  lclkrlem2j  40387  lclkrlem2k  40388  lclkrlem2o  40392  lclkrlem2p  40393  lclkrlem2r  40395  lclkrlem2s  40396  lclkrlem2u  40398  lclkrlem2v  40399  lclkrlem2  40403  lclkr  40404  lclkrslem1  40408  lclkrslem2  40409  lclkrs  40410  lcfrvalsnN  40412  lcfrlem4  40416  lcfrlem5  40417  lcfrlem6  40418  lcfrlem7  40419  lcfrlem9  40421  lcfrlem12N  40425  lcfrlem15  40428  lcfrlem16  40429  lcfrlem17  40430  lcfrlem19  40432  lcfrlem20  40433  lcfrlem21  40434  lcfrlem23  40436  lcfrlem25  40438  lcfrlem26  40439  lcfrlem28  40441  lcfrlem29  40442  lcfrlem30  40443  lcfrlem31  40444  lcfrlem33  40446  lcfrlem35  40448  lcfrlem36  40449  lcfrlem37  40450  lcfrlem40  40453  lcfrlem42  40455  lcfr  40456  lcdvbase  40464  lcdvbasecl  40467  lcdvaddval  40469  lcdsca  40470  lcdvsval  40475  lcd0v  40482  lcd0v2  40483  lcdvsubval  40489  lcdlss  40490  lcdlsp  40492  mapdval2N  40501  mapdordlem2  40508  mapdsn  40512  mapd1dim2lem1N  40515  mapdrvallem2  40516  mapdunirnN  40521  mapdcv  40531  mapdin  40533  mapdlsm  40535  mapd0  40536  mapdcnvatN  40537  mapdat  40538  mapdspex  40539  mapdn0  40540  mapdncol  40541  mapdindp  40542  mapdpglem1  40543  mapdpglem2  40544  mapdpglem2a  40545  mapdpglem3  40546  mapdpglem4N  40547  mapdpglem5N  40548  mapdpglem6  40549  mapdpglem8  40550  mapdpglem9  40551  mapdpglem12  40554  mapdpglem13  40555  mapdpglem14  40556  mapdpglem17N  40559  mapdpglem18  40560  mapdpglem19  40561  mapdpglem20  40562  mapdpglem21  40563  mapdpglem23  40565  mapdpglem30a  40566  mapdpglem30b  40567  mapdpglem29  40571  mapdpglem30  40573  mapdheq2  40600  mapdheq4lem  40602  mapdh6lem1N  40604  mapdh6lem2N  40605  mapdh6aN  40606  mapdh6b0N  40607  mapdh6bN  40608  mapdh6cN  40609  mapdh6dN  40610  mapdh6eN  40611  mapdh6gN  40613  mapdh6hN  40614  mapdh6iN  40615  mapdh8ab  40648  mapdh8ad  40650  mapdh8e  40655  mapdh9a  40660  mapdh9aOLDN  40661  hdmap1val0  40670  hdmap1l6lem1  40678  hdmap1l6lem2  40679  hdmap1l6a  40680  hdmap1l6b0N  40681  hdmap1l6b  40682  hdmap1l6c  40683  hdmap1l6d  40684  hdmap1l6e  40685  hdmap1l6g  40687  hdmap1l6h  40688  hdmap1l6i  40689  hdmap1eulem  40693  hdmap1eulemOLDN  40694  hdmapval0  40704  hdmapeveclem  40705  hdmapval3lemN  40708  hdmap10lem  40710  hdmap10  40711  hdmap11lem1  40712  hdmap11lem2  40713  hdmapeq0  40715  hdmapneg  40717  hdmapsub  40718  hdmap11  40719  hdmaprnlem1N  40720  hdmaprnlem3N  40721  hdmaprnlem3uN  40722  hdmaprnlem4tN  40723  hdmaprnlem4N  40724  hdmaprnlem6N  40725  hdmaprnlem8N  40727  hdmaprnlem9N  40728  hdmaprnlem3eN  40729  hdmaprnlem16N  40733  hdmaprnlem17N  40734  hdmap14lem1a  40737  hdmap14lem2a  40738  hdmap14lem2N  40740  hdmap14lem3  40741  hdmap14lem4a  40742  hdmap14lem6  40744  hdmap14lem8  40746  hdmap14lem9  40747  hdmap14lem10  40748  hdmap14lem11  40749  hdmap14lem13  40751  hgmapval0  40763  hgmapval1  40764  hgmapadd  40765  hgmapmul  40766  hgmaprnlem2N  40768  hgmaprnlem3N  40769  hgmap11  40773  hgmapeq0  40775  hdmapln1  40777  hdmaplna1  40778  hdmaplns1  40779  hdmaplnm1  40780  hdmapgln2  40783  hdmaplkr  40784  hdmapellkr  40785  hdmapip0  40786  hdmapinvlem1  40789  hdmapinvlem3  40791  hdmapinvlem4  40792  hdmapglem5  40793  hgmapvvlem1  40794  hgmapvvlem3  40796  hdmapglem7a  40798  hdmapglem7b  40799  hdmapglem7  40800  hdmapoc  40802  hlhilphllem  40834
  Copyright terms: Public domain W3C validator