Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlmod 40029
Description: The full vector space π‘ˆ constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane π‘Š) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhlvec.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhlvec.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlmod (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhlvec.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhlvec.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 40028 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5 lveclmod 20717 . 2 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
64, 5syl 17 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  HLchlt 38268  LHypclh 38903  DVecHcdvh 39997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37871
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-oposet 38094  df-ol 38096  df-oml 38097  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269  df-llines 38417  df-lplanes 38418  df-lvols 38419  df-lines 38420  df-psubsp 38422  df-pmap 38423  df-padd 38715  df-lhyp 38907  df-laut 38908  df-ldil 39023  df-ltrn 39024  df-trl 39078  df-tendo 39674  df-edring 39676  df-dvech 39998
This theorem is referenced by:  dvh0g  40030  dvhopellsm  40036  dib1dim2  40087  diclspsn  40113  cdlemn4a  40118  cdlemn5pre  40119  cdlemn11c  40128  dihjustlem  40135  dihord1  40137  dihord2a  40138  dihord2b  40139  dihord11c  40143  dihlsscpre  40153  dihvalcqat  40158  dihord6apre  40175  dihord5b  40178  dihord5apre  40181  dih0vbN  40201  dihglblem5  40217  dihjatc3  40232  dihmeetlem9N  40234  dihmeetlem13N  40238  dihmeetlem16N  40241  dihmeetlem19N  40244  dih1dimatlem  40248  dihlsprn  40250  dihlspsnat  40252  dihatlat  40253  dihatexv  40257  dihglblem6  40259  dochspss  40297  dochocsp  40298  dochspocN  40299  dochsncom  40301  dochsat  40302  dochshpncl  40303  dochlkr  40304  dochkrshp  40305  dochnoncon  40310  dochnel  40312  djhsumss  40326  djhunssN  40328  djhlsmcl  40333  dihjatcclem1  40337  dihjatcclem2  40338  dihjat  40342  dihprrnlem1N  40343  dihprrnlem2  40344  dihprrn  40345  djhlsmat  40346  dihjat1lem  40347  dihjat1  40348  dihsmsprn  40349  dihjat2  40350  dihsmatrn  40355  dvh3dimatN  40358  dvh2dimatN  40359  dvh1dim  40361  dvh4dimlem  40362  dvhdimlem  40363  dvh2dim  40364  dvh3dim  40365  dvh4dimN  40366  dvh3dim2  40367  dvh3dim3N  40368  dochsatshp  40370  dochsatshpb  40371  dochsnshp  40372  dochshpsat  40373  dochkrsat  40374  dochkrsat2  40375  dochkrsm  40377  dochexmidlem1  40379  dochexmidlem2  40380  dochexmidlem4  40382  dochexmidlem5  40383  dochexmidlem6  40384  dochexmidlem7  40385  dochexmidlem8  40386  dochexmid  40387  dochsnkrlem1  40388  dochsnkr  40391  dochsnkr2cl  40393  dochfl1  40395  dochfln0  40396  dochkr1  40397  dochkr1OLDN  40398  lcfl4N  40414  lcfl5  40415  lcfl6lem  40417  lcfl7lem  40418  lcfl6  40419  lcfl8  40421  lcfl8b  40423  lcfl9a  40424  lclkrlem1  40425  lclkrlem2a  40426  lclkrlem2b  40427  lclkrlem2c  40428  lclkrlem2e  40430  lclkrlem2f  40431  lclkrlem2h  40433  lclkrlem2j  40435  lclkrlem2k  40436  lclkrlem2o  40440  lclkrlem2p  40441  lclkrlem2r  40443  lclkrlem2s  40444  lclkrlem2u  40446  lclkrlem2v  40447  lclkrlem2  40451  lclkr  40452  lclkrslem1  40456  lclkrslem2  40457  lclkrs  40458  lcfrvalsnN  40460  lcfrlem4  40464  lcfrlem5  40465  lcfrlem6  40466  lcfrlem7  40467  lcfrlem9  40469  lcfrlem12N  40473  lcfrlem15  40476  lcfrlem16  40477  lcfrlem17  40478  lcfrlem19  40480  lcfrlem20  40481  lcfrlem21  40482  lcfrlem23  40484  lcfrlem25  40486  lcfrlem26  40487  lcfrlem28  40489  lcfrlem29  40490  lcfrlem30  40491  lcfrlem31  40492  lcfrlem33  40494  lcfrlem35  40496  lcfrlem36  40497  lcfrlem37  40498  lcfrlem40  40501  lcfrlem42  40503  lcfr  40504  lcdvbase  40512  lcdvbasecl  40515  lcdvaddval  40517  lcdsca  40518  lcdvsval  40523  lcd0v  40530  lcd0v2  40531  lcdvsubval  40537  lcdlss  40538  lcdlsp  40540  mapdval2N  40549  mapdordlem2  40556  mapdsn  40560  mapd1dim2lem1N  40563  mapdrvallem2  40564  mapdunirnN  40569  mapdcv  40579  mapdin  40581  mapdlsm  40583  mapd0  40584  mapdcnvatN  40585  mapdat  40586  mapdspex  40587  mapdn0  40588  mapdncol  40589  mapdindp  40590  mapdpglem1  40591  mapdpglem2  40592  mapdpglem2a  40593  mapdpglem3  40594  mapdpglem4N  40595  mapdpglem5N  40596  mapdpglem6  40597  mapdpglem8  40598  mapdpglem9  40599  mapdpglem12  40602  mapdpglem13  40603  mapdpglem14  40604  mapdpglem17N  40607  mapdpglem18  40608  mapdpglem19  40609  mapdpglem20  40610  mapdpglem21  40611  mapdpglem23  40613  mapdpglem30a  40614  mapdpglem30b  40615  mapdpglem29  40619  mapdpglem30  40621  mapdheq2  40648  mapdheq4lem  40650  mapdh6lem1N  40652  mapdh6lem2N  40653  mapdh6aN  40654  mapdh6b0N  40655  mapdh6bN  40656  mapdh6cN  40657  mapdh6dN  40658  mapdh6eN  40659  mapdh6gN  40661  mapdh6hN  40662  mapdh6iN  40663  mapdh8ab  40696  mapdh8ad  40698  mapdh8e  40703  mapdh9a  40708  mapdh9aOLDN  40709  hdmap1val0  40718  hdmap1l6lem1  40726  hdmap1l6lem2  40727  hdmap1l6a  40728  hdmap1l6b0N  40729  hdmap1l6b  40730  hdmap1l6c  40731  hdmap1l6d  40732  hdmap1l6e  40733  hdmap1l6g  40735  hdmap1l6h  40736  hdmap1l6i  40737  hdmap1eulem  40741  hdmap1eulemOLDN  40742  hdmapval0  40752  hdmapeveclem  40753  hdmapval3lemN  40756  hdmap10lem  40758  hdmap10  40759  hdmap11lem1  40760  hdmap11lem2  40761  hdmapeq0  40763  hdmapneg  40765  hdmapsub  40766  hdmap11  40767  hdmaprnlem1N  40768  hdmaprnlem3N  40769  hdmaprnlem3uN  40770  hdmaprnlem4tN  40771  hdmaprnlem4N  40772  hdmaprnlem6N  40773  hdmaprnlem8N  40775  hdmaprnlem9N  40776  hdmaprnlem3eN  40777  hdmaprnlem16N  40781  hdmaprnlem17N  40782  hdmap14lem1a  40785  hdmap14lem2a  40786  hdmap14lem2N  40788  hdmap14lem3  40789  hdmap14lem4a  40790  hdmap14lem6  40792  hdmap14lem8  40794  hdmap14lem9  40795  hdmap14lem10  40796  hdmap14lem11  40797  hdmap14lem13  40799  hgmapval0  40811  hgmapval1  40812  hgmapadd  40813  hgmapmul  40814  hgmaprnlem2N  40816  hgmaprnlem3N  40817  hgmap11  40821  hgmapeq0  40823  hdmapln1  40825  hdmaplna1  40826  hdmaplns1  40827  hdmaplnm1  40828  hdmapgln2  40831  hdmaplkr  40832  hdmapellkr  40833  hdmapip0  40834  hdmapinvlem1  40837  hdmapinvlem3  40839  hdmapinvlem4  40840  hdmapglem5  40841  hgmapvvlem1  40842  hgmapvvlem3  40844  hdmapglem7a  40846  hdmapglem7b  40847  hdmapglem7  40848  hdmapoc  40850  hlhilphllem  40882
  Copyright terms: Public domain W3C validator