Theorem rhmply1mon 22332

Description: Apply a ring homomorphism between two univariate polynomial algebras to a scaled monomial, as in ply1coe 22241. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmply1mon.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
rhmply1mon.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
rhmply1mon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmply1mon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
rhmply1mon.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmply1mon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
rhmply1mon.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑆)
rhmply1mon.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
rhmply1mon.u	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
rhmply1mon.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
rhmply1mon.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑄)
rhmply1mon.l	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
rhmply1mon.w	⊢ ∧ = (.g‘𝑁)
rhmply1mon.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmply1mon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
rhmply1mon.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
rhmply1mon	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐶 · (𝐸 ↑ 𝑋))) = ((𝐻‘𝐶) ∙ (𝐸 ∧ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑝   𝑋,𝑝   𝐻,𝑝   𝐵,𝑝   · ,𝑝   ↑ ,𝑝   𝐸,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   ∙ (𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐾(𝑝)   𝑀(𝑝)   ∧ (𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem rhmply1mon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmply1mon.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		rhmply1mon.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
3		rhmply1mon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		rhmply1mon.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		rhmply1mon.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
6		rhmply1mon.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7		rhmply1mon.u	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
8		rhmply1mon.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		rhmply1mon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
10		rhmply1mon.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
11	10, 3	mgpbas 20110	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12		rhmply1mon.l	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
13		rhmrcl1 20441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	1	ply1ring 22188	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
17	10	ringmgp 20204	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
19		rhmply1mon.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
20		rhmply1mon.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
21	20, 1, 3	vr1cl 22158	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	14, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	11, 12, 18, 19, 22	mulgnn0cld 19083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23	rhmply1vsca 22331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐶 · (𝐸 ↑ 𝑋))) = ((𝐻‘𝐶) ∙ (𝐹‘(𝐸 ↑ 𝑋))))
25	1, 2, 3, 5, 8	rhmply1 22329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))
26		rhmply1mon.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑄)
27	10, 26	rhmmhm 20444	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
29		rhmply1mon.w	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (.g‘𝑁)
30	11, 12, 29	mhmmulg 19103	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐸 ↑ 𝑋)) = (𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋)))
31	28, 19, 22, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 ↑ 𝑋)) = (𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋)))
32		rhmply1mon.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑆)
33	1, 2, 3, 5, 20, 32, 8	rhmply1vr1 22330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
34	33	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋)) = (𝐸 ∧ 𝑌))
35	31, 34	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 ↑ 𝑋)) = (𝐸 ∧ 𝑌))
36	35	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐶) ∙ (𝐹‘(𝐸 ↑ 𝑋))) = ((𝐻‘𝐶) ∙ (𝐸 ∧ 𝑌)))
37	24, 36	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐶 · (𝐸 ↑ 𝑋))) = ((𝐻‘𝐶) ∙ (𝐸 ∧ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5206   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233   ·_𝑠 cvsca 17280  Mndcmnd 18717   MndHom cmhm 18764  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198   RingHom crh 20434  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122

This theorem is referenced by:  aks5lem2  42205