Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubaddlem2 43149
Description: (voln*‘𝑋) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsubaddlem2.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnsubaddlem2.a (𝜑𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubaddlem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ovnsubaddlem2.z 𝑍 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
ovnsubaddlem2.c 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
ovnsubaddlem2.l 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
ovnsubaddlem2.d 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑒)}))
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐴,𝑘,𝑙,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛   𝑧,𝐴,𝑎,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝐶,𝑎,𝑒,𝑖   𝐷,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐷,𝑘   𝐸,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑘,𝐸   𝐿,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑋,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   ,𝑋,𝑘,𝑖,𝑗   𝑋,𝑙   𝑧,𝑋   𝜑,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,,𝑙)   𝐴()   𝐶(𝑧,,𝑗,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐷(𝑧,,𝑙)   𝐸(𝑧,,𝑙)   𝐿(𝑧,,𝑘,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑒,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem ovnsubaddlem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6665 . . . 4 ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ∈ V
2 nnenom 13343 . . . 4 ℕ ≈ ω
31, 2axcc3 9849 . . 3 𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → 𝑔 Fn ℕ)
5 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑛𝜑
6 nfra1 3208 . . . . . . . . 9 𝑛𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
75, 6nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
8 rspa 3196 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
98adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1110adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
1514adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
16 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1715, 16ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
18 elpwi 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑛) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐴𝑛) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ+)
22 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
23 2nn 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
26 nnexpcl 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2724, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
28 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3130adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3221, 31rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑒)}))
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 43142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
37 n0 4282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
3836, 37sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅)
40 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4241ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4544ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
467, 45ralrimi 3205 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4746adantrl 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
484, 47jca 515 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4948ex 416 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))))
5049eximdv 1918 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))))
513, 50mpi 20 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
52 simpl 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → 𝜑)
53 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → 𝑔 Fn ℕ)
54 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
55 nnf1oxpnn 41761 . . . . . 6 𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)
56 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝜑)
57 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑔 Fn ℕ)
58 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑛 → (𝑔𝑞) = (𝑔𝑛))
59 2fveq3 6657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑛 → (𝐷‘(𝐴𝑞)) = (𝐷‘(𝐴𝑛)))
60 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑛 → (2↑𝑞) = (2↑𝑛))
6160oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑛 → (𝐸 / (2↑𝑞)) = (𝐸 / (2↑𝑛)))
6259, 61fveq12d 6659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑛 → ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) = ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
6358, 62eleq12d 2908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑛 → ((𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) ↔ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
6463cbvralvw 3424 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
6564biimpri 231 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
66653ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
6766adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
68 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ))
6910adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ∈ Fin)
70693ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ∈ Fin)
7112adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ≠ ∅)
72713ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ≠ ∅)
7314adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
74733ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
7520adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
76753ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
77 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
78 coeq2 5706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑖 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝑖))
7978fveq1d 6654 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑖 → (([,) ∘ )‘𝑘) = (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘))
8079fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑖 → (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8180prodeq2ad 42173 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑖 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8281cbvmptv 5145 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘))) = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8334, 82eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8464biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
85843ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
87 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
88 rspa 3196 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
8986, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
90 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ))
91 2fveq3 6657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑚 → (1st ‘(𝑓𝑞)) = (1st ‘(𝑓𝑚)))
9291fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑚 → (𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞))) = (𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚))))
93 2fveq3 6657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑚 → (2nd ‘(𝑓𝑞)) = (2nd ‘(𝑓𝑚)))
9492, 93fveq12d 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑚 → ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞)))‘(2nd ‘(𝑓𝑞))) = ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚)))‘(2nd ‘(𝑓𝑚))))
9594cbvmptv 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞)))‘(2nd ‘(𝑓𝑞)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚)))‘(2nd ‘(𝑓𝑚))))
9670, 72, 74, 76, 77, 33, 83, 35, 89, 90, 95ovnsubaddlem1 43148 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
9756, 57, 67, 68, 96syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
9897ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
9998exlimdv 1934 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
10055, 99mpi 20 . . . . 5 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
10152, 53, 54, 100syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
102101ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
103102exlimdv 1934 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
10451, 103mpd 15 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  {crab 3134  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511   ciun 4894   class class class wbr 5042  cmpt 5122   × cxp 5530  ccom 5536   Fn wfn 6329  wf 6330  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  m cmap 8393  Xcixp 8448  Fincfn 8496  cr 10525  *cxr 10663  cle 10665   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493  [,)cico 12728  cexp 13425  cprod 15250  volcvol 24065  Σ^csumge0 42940  voln*covoln 43114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-prod 15251  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-rest 16687  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-sumge0 42941  df-ovoln 43115
This theorem is referenced by:  ovnsubadd  43150
  Copyright terms: Public domain W3C validator