Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubaddlem2 45287
Description: (voln*β€˜π‘‹) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubaddlem2.n0 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
ovnsubaddlem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubaddlem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ovnsubaddlem2.z 𝑍 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
ovnsubaddlem2.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
ovnsubaddlem2.l 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
ovnsubaddlem2.d 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐴,π‘˜,𝑙,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑛   𝑧,𝐴,π‘Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛   𝐢,π‘Ž,𝑒,𝑖   𝐷,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐷,π‘˜   𝐸,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   π‘˜,𝐸   𝐿,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑋,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   β„Ž,𝑋,π‘˜,𝑖,𝑗   𝑋,𝑙   𝑧,𝑋   πœ‘,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,β„Ž,𝑙)   𝐴(β„Ž)   𝐢(𝑧,β„Ž,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑙)   𝐷(𝑧,β„Ž,𝑙)   𝐸(𝑧,β„Ž,𝑙)   𝐿(𝑧,β„Ž,π‘˜,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑒,β„Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ž,𝑙)

Proof of Theorem ovnsubaddlem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘š π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . 4 ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) ∈ V
2 nnenom 13945 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
31, 2axcc3 10433 . . 3 βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))) β†’ 𝑔 Fn β„•)
5 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘›πœ‘
6 nfra1 3282 . . . . . . . . 9 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
75, 6nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
8 rspa 3246 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
98adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1715, 16ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
18 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
22 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
23 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„•
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
26 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
2724, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
28 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2↑𝑛) ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3221, 31rpdivcld 13033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 45280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
37 n0 4347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ…)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ…)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
4241ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
4544ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
467, 45ralrimi 3255 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
4746adantrl 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
484, 47jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))) β†’ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4948ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))))
5049eximdv 1921 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))))
513, 50mpi 20 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
52 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ πœ‘)
53 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ 𝑔 Fn β„•)
54 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
55 nnf1oxpnn 43894 . . . . . 6 βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)
56 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ πœ‘)
57 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑔 Fn β„•)
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = 𝑛 β†’ (π‘”β€˜π‘ž) = (π‘”β€˜π‘›))
59 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = 𝑛 β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘ž)) = (π·β€˜(π΄β€˜π‘›)))
60 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = 𝑛 β†’ (2β†‘π‘ž) = (2↑𝑛))
6160oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = 𝑛 β†’ (𝐸 / (2β†‘π‘ž)) = (𝐸 / (2↑𝑛)))
6259, 61fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = 𝑛 β†’ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) = ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
6358, 62eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = 𝑛 β†’ ((π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) ↔ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
6463cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
6564biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))))
66653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))))
6766adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))))
68 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•))
6910adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
70693ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
7112adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
72713ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
7314adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
74733ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
7520adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
76753ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
77 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
78 coeq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = 𝑖 β†’ ([,) ∘ β„Ž) = ([,) ∘ 𝑖))
7978fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = 𝑖 β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜))
8079fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑖 β†’ (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8180prodeq2ad 44308 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑖 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8281cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8334, 82eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8464biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
85843ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
87 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
88 rspa 3246 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
8986, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
90 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•))
91 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = π‘š β†’ (1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž)) = (1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
9291fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = π‘š β†’ (π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž))) = (π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘š))))
93 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = π‘š β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘ž)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
9492, 93fveq12d 6899 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = π‘š β†’ ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘ž))) = ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))))
9594cbvmptv 5262 . . . . . . . . . 10 (π‘ž ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘ž)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))))
9670, 72, 74, 76, 77, 33, 83, 35, 89, 90, 95ovnsubaddlem1 45286 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
9756, 57, 67, 68, 96syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
9897ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
9998exlimdv 1937 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
10055, 99mpi 20 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
10152, 53, 54, 100syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
102101ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
103102exlimdv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
10451, 103mpd 15 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  β„cr 11109  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974   +𝑒 cxad 13090  [,)cico 13326  β†‘cexp 14027  βˆcprod 15849  volcvol 24980  Ξ£^csumge0 45078  voln*covoln 45252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-sumge0 45079  df-ovoln 45253
This theorem is referenced by:  ovnsubadd  45288
  Copyright terms: Public domain W3C validator