Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubaddlem2 45587
Description: (voln*β€˜π‘‹) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubaddlem2.n0 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
ovnsubaddlem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubaddlem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
ovnsubaddlem2.z 𝑍 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
ovnsubaddlem2.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
ovnsubaddlem2.l 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
ovnsubaddlem2.d 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐴,π‘˜,𝑙,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑛   𝑧,𝐴,π‘Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛   𝐢,π‘Ž,𝑒,𝑖   𝐷,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐷,π‘˜   𝐸,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   π‘˜,𝐸   𝐿,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑋,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   β„Ž,𝑋,π‘˜,𝑖,𝑗   𝑋,𝑙   𝑧,𝑋   πœ‘,π‘Ž,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,β„Ž,𝑙)   𝐴(β„Ž)   𝐢(𝑧,β„Ž,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑙)   𝐷(𝑧,β„Ž,𝑙)   𝐸(𝑧,β„Ž,𝑙)   𝐿(𝑧,β„Ž,π‘˜,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑒,β„Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ž,𝑙)

Proof of Theorem ovnsubaddlem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘š π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . 4 ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) ∈ V
2 nnenom 13950 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
31, 2axcc3 10436 . . 3 βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))) β†’ 𝑔 Fn β„•)
5 nfv 1916 . . . . . . . . 9 β„²π‘›πœ‘
6 nfra1 3280 . . . . . . . . 9 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
75, 6nfan 1901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
8 rspa 3244 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
98adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1715, 16ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
18 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
22 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
23 2nn 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„•
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
26 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
2724, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
28 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2↑𝑛) ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3221, 31rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∣ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘™β€˜π‘—))β€˜π‘˜)})
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)))
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (πΆβ€˜π‘Ž) ∣ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (πΏβ€˜(π‘–β€˜π‘—)))) ≀ (((voln*β€˜π‘‹)β€˜π‘Ž) +𝑒 𝑒)}))
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 45580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
37 n0 4347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ…)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ…)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
4241ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4342adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
4544ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
467, 45ralrimi 3253 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
4746adantrl 713 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
484, 47jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))) β†’ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4948ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))))
5049eximdv 1919 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β‰  βˆ… β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))))
513, 50mpi 20 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
52 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ πœ‘)
53 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ 𝑔 Fn β„•)
54 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
55 nnf1oxpnn 44194 . . . . . 6 βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)
56 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ πœ‘)
57 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑔 Fn β„•)
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = 𝑛 β†’ (π‘”β€˜π‘ž) = (π‘”β€˜π‘›))
59 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = 𝑛 β†’ (π·β€˜(π΄β€˜π‘ž)) = (π·β€˜(π΄β€˜π‘›)))
60 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = 𝑛 β†’ (2β†‘π‘ž) = (2↑𝑛))
6160oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = 𝑛 β†’ (𝐸 / (2β†‘π‘ž)) = (𝐸 / (2↑𝑛)))
6259, 61fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = 𝑛 β†’ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) = ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
6358, 62eleq12d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = 𝑛 β†’ ((π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) ↔ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))))
6463cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
6564biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))))
66653ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))))
6766adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))))
68 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•))
6910adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
70693ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
7112adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
72713ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
7314adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
74733ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆπ’« (ℝ ↑m 𝑋))
7520adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
76753ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
77 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (π‘Ž ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
78 coeq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = 𝑖 β†’ ([,) ∘ β„Ž) = ([,) ∘ 𝑖))
7978fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = 𝑖 β†’ (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜) = (([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜))
8079fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑖 β†’ (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8180prodeq2ad 44608 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑖 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8281cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8334, 82eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ 𝑖)β€˜π‘˜)))
8464biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
85843ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
8685ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
87 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
88 rspa 3244 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
8986, 87, 88syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))
90 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•))
91 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = π‘š β†’ (1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž)) = (1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
9291fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = π‘š β†’ (π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž))) = (π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘š))))
93 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = π‘š β†’ (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘ž)) = (2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
9492, 93fveq12d 6899 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = π‘š β†’ ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘ž))) = ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))))
9594cbvmptv 5262 . . . . . . . . . 10 (π‘ž ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘ž)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘ž)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜(1st β€˜(π‘“β€˜π‘š)))β€˜(2nd β€˜(π‘“β€˜π‘š))))
9670, 72, 74, 76, 77, 33, 83, 35, 89, 90, 95ovnsubaddlem1 45586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘ž ∈ β„• (π‘”β€˜π‘ž) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘ž))β€˜(𝐸 / (2β†‘π‘ž)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
9756, 57, 67, 68, 96syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•)) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
9897ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
9998exlimdv 1935 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-ontoβ†’(β„• Γ— β„•) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
10055, 99mpi 20 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
10152, 53, 54, 100syl3anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛))))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
102101ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
103102exlimdv 1935 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ ((π·β€˜(π΄β€˜π‘›))β€˜(𝐸 / (2↑𝑛)))) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸)))
10451, 103mpd 15 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜(π΄β€˜π‘›)))) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977   ↑m cmap 8823  Xcixp 8894  Fincfn 8942  β„cr 11112  β„*cxr 11252   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„+crp 12979   +𝑒 cxad 13095  [,)cico 13331  β†‘cexp 14032  βˆcprod 15854  volcvol 25213  Ξ£^csumge0 45378  voln*covoln 45552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-sumge0 45379  df-ovoln 45553
This theorem is referenced by:  ovnsubadd  45588
  Copyright terms: Public domain W3C validator