Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvval2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvval2lem5 40229
Description: The fifth argument passed to evalSub is in the domain (a function 𝐼𝐸). (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvval2lem5.u 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lem5.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem5.c 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem5.e 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvval2lem5.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
selvval2lem5.i (𝜑𝐼𝑉)
selvval2lem5.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvval2lem5.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
selvval2lem5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸m 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem selvval2lem5
StepHypRef Expression
1 selvval2lem5.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
2 eqid 2738 . . . . . 6 (𝐽 mVar 𝑈) = (𝐽 mVar 𝑈)
3 selvval2lem5.e . . . . . 6 𝐸 = (Base‘𝑇)
4 selvval2lem5.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
5 selvval2lem5.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐼)
64, 5ssexd 5248 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ V)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐽 ∈ V)
84difexd 5253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
9 selvval2lem5.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
10 crngring 19795 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 selvval2lem5.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
1312mplring 21224 . . . . . . . 8 (((𝐼𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
148, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑈 ∈ Ring)
16 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
171, 2, 3, 7, 15, 16mvrcl 21221 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
1817adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑥𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
19 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20 selvval2lem5.c . . . . . . 7 𝐶 = (algSc‘𝑇)
211, 3, 19, 20, 6, 14mplasclf 21273 . . . . . 6 (𝜑𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
2221ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
23 eqid 2738 . . . . . 6 ((𝐼𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼𝐽) mVar 𝑅)
248ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → (𝐼𝐽) ∈ V)
2511ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
26 eldif 3897 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) ↔ (𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥𝐽))
2726biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
2827adantll 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
2912, 23, 19, 24, 25, 28mvrcl 21221 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑈))
3022, 29ffvelrnd 6962 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐸)
3118, 30ifclda 4494 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))) ∈ 𝐸)
32 selvval2lem5.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
3331, 32fmptd 6988 . 2 (𝜑𝐹:𝐼𝐸)
34 fvexd 6789 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑇) ∈ V)
353, 34eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ V)
3635, 4elmapd 8629 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼𝐸))
3733, 36mpbird 256 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸m 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  cdif 3884  wss 3887  ifcif 4459  cmpt 5157  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  algSccascl 21059   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114
This theorem is referenced by:  selvcl  40230
  Copyright terms: Public domain W3C validator