Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvval2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvval2lem5 39811
Description: The fifth argument passed to evalSub is in the domain (a function 𝐼𝐸). (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvval2lem5.u 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lem5.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem5.c 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem5.e 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvval2lem5.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
selvval2lem5.i (𝜑𝐼𝑉)
selvval2lem5.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvval2lem5.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
selvval2lem5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸m 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem selvval2lem5
StepHypRef Expression
1 selvval2lem5.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
2 eqid 2738 . . . . . 6 (𝐽 mVar 𝑈) = (𝐽 mVar 𝑈)
3 selvval2lem5.e . . . . . 6 𝐸 = (Base‘𝑇)
4 selvval2lem5.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
5 selvval2lem5.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐼)
64, 5ssexd 5192 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ V)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐽 ∈ V)
84difexd 5197 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
9 selvval2lem5.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
10 crngring 19428 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 selvval2lem5.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
1312mplring 20834 . . . . . . . 8 (((𝐼𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
148, 11, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑈 ∈ Ring)
16 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
171, 2, 3, 7, 15, 16mvrcl 20831 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
1817adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑥𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
19 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20 selvval2lem5.c . . . . . . 7 𝐶 = (algSc‘𝑇)
211, 3, 19, 20, 6, 14mplasclf 20877 . . . . . 6 (𝜑𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
2221ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
23 eqid 2738 . . . . . 6 ((𝐼𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼𝐽) mVar 𝑅)
248ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → (𝐼𝐽) ∈ V)
2511ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
26 eldif 3853 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) ↔ (𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥𝐽))
2726biimpri 231 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
2827adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
2912, 23, 19, 24, 25, 28mvrcl 20831 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑈))
3022, 29ffvelrnd 6862 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ ¬ 𝑥𝐽) → (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐸)
3118, 30ifclda 4449 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))) ∈ 𝐸)
32 selvval2lem5.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
3331, 32fmptd 6888 . 2 (𝜑𝐹:𝐼𝐸)
34 fvexd 6689 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑇) ∈ V)
353, 34eqeltrid 2837 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ V)
3635, 4elmapd 8451 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼𝐸))
3733, 36mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸m 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843  ifcif 4414  cmpt 5110  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Basecbs 16586  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  algSccascl 20668   mVar cmvr 20718   mPoly cmpl 20719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-tset 16687  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mvr 20723  df-mpl 20724
This theorem is referenced by:  selvcl  39812
  Copyright terms: Public domain W3C validator