Theorem sublimc 45608

Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
sublimc.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
sublimc.3	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
sublimc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
sublimc.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sublimc	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4		sublimc.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		sublimc.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	negcld 11605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7		sublimc.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
8		sublimc.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		sublimc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
10	8, 2, 5, 9	neglimc 45603	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) limℂ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 6, 7, 10	addlimc 45604	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
12		limccl 25925	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
13	12, 7	sselid 3993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		limccl 25925	. . . . 5 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
15	14, 9	sselid 3993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
16	13, 15	negsubd 11624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸 − 𝐼))
17	16	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18		sublimc.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
19	4, 5	negsubd 11624	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
20	19	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
21	20	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
22	18, 21	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
23	22	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
24	11, 17, 23	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156   − cmin 11490  -cneg 11491   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cnp 23252  df-xms 24346  df-ms 24347  df-limc 25916

This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46122  fourierdlem61  46123  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138