Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sublimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sublimc 45667
Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sublimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
sublimc.2 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
sublimc.3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
sublimc.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
sublimc.7 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
sublimc (𝜑 → (𝐸𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc
StepHypRef Expression
1 sublimc.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2737 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐶)
3 eqid 2737 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4 sublimc.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 sublimc.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65negcld 11607 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7 sublimc.6 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
8 sublimc.2 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
9 sublimc.7 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
108, 2, 5, 9neglimc 45662 . . 3 (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐶) lim 𝐷))
111, 2, 3, 4, 6, 7, 10addlimc 45663 . 2 (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) lim 𝐷))
12 limccl 25910 . . . . 5 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1312, 7sselid 3981 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
14 limccl 25910 . . . . 5 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1514, 9sselid 3981 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
1613, 15negsubd 11626 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸𝐼))
1716eqcomd 2743 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18 sublimc.3 . . . 4 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
194, 5negsubd 11626 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
2019eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
2120mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
2218, 21eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
2322oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (𝐻 lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) lim 𝐷))
2411, 17, 233eltr4d 2856 1 (𝜑 → (𝐸𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  (class class class)co 7431  cc 11153   + caddc 11158  cmin 11492  -cneg 11493   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197
  Copyright terms: Public domain W3C validator