Theorem sublimc 46098

Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
sublimc.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
sublimc.3	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
sublimc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
sublimc.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sublimc	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4		sublimc.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		sublimc.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	negcld 11483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7		sublimc.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
8		sublimc.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		sublimc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
10	8, 2, 5, 9	neglimc 46093	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) limℂ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 6, 7, 10	addlimc 46094	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
12		limccl 25852	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
13	12, 7	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		limccl 25852	. . . . 5 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
15	14, 9	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
16	13, 15	negsubd 11502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸 − 𝐼))
17	16	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18		sublimc.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
19	4, 5	negsubd 11502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
20	19	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
21	20	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
22	18, 21	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
23	22	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
24	11, 17, 23	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5167  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368  -cneg 11369   lim_ℂ climc 25839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cnp 23203  df-xms 24295  df-ms 24296  df-limc 25843

This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem76  46628