Theorem sublimc 46394

Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
sublimc.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
sublimc.3	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
sublimc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
sublimc.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sublimc	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4		sublimc.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		sublimc.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	negcld 11562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7		sublimc.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
8		sublimc.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		sublimc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
10	8, 2, 5, 9	neglimc 46389	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) limℂ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 6, 7, 10	addlimc 46390	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
12		limccl 26045	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
13	12, 7	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		limccl 26045	. . . . 5 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
15	14, 9	sselid 3934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
16	13, 15	negsubd 11581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸 − 𝐼))
17	16	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18		sublimc.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
19	4, 5	negsubd 11581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
20	19	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
21	20	mpteq2dva 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
22	18, 21	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
23	22	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
24	11, 17, 23	3eltr4d 2877	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ↦ cmpt 5191  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   + caddc 11109   − cmin 11447  -cneg 11448   lim_ℂ climc 26032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-fz 13542  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-rest 17481  df-topn 17482  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cnp 23396  df-xms 24488  df-ms 24489  df-limc 26036

This theorem is used by:  fourierdlem60  46908  fourierdlem61  46909  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem76  46924