Theorem sublimc 45896

Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
sublimc.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
sublimc.3	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
sublimc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
sublimc.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sublimc	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4		sublimc.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		sublimc.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	negcld 11479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7		sublimc.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
8		sublimc.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		sublimc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
10	8, 2, 5, 9	neglimc 45891	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) limℂ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 6, 7, 10	addlimc 45892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
12		limccl 25832	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
13	12, 7	sselid 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		limccl 25832	. . . . 5 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
15	14, 9	sselid 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
16	13, 15	negsubd 11498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸 − 𝐼))
17	16	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18		sublimc.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
19	4, 5	negsubd 11498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
20	19	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
21	20	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
22	18, 21	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
23	22	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
24	11, 17, 23	3eltr4d 2851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  -cneg 11365   lim_ℂ climc 25819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cnp 23172  df-xms 24264  df-ms 24265  df-limc 25823

This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46410  fourierdlem61  46411  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426