Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sublimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sublimc 44127
Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sublimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
sublimc.2 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
sublimc.3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
sublimc.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
sublimc.7 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
sublimc (𝜑 → (𝐸𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc
StepHypRef Expression
1 sublimc.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2731 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐶)
3 eqid 2731 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4 sublimc.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 sublimc.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65negcld 11537 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7 sublimc.6 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
8 sublimc.2 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
9 sublimc.7 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
108, 2, 5, 9neglimc 44122 . . 3 (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐶) lim 𝐷))
111, 2, 3, 4, 6, 7, 10addlimc 44123 . 2 (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) lim 𝐷))
12 limccl 25316 . . . . 5 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1312, 7sselid 3973 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
14 limccl 25316 . . . . 5 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1514, 9sselid 3973 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
1613, 15negsubd 11556 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸𝐼))
1716eqcomd 2737 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18 sublimc.3 . . . 4 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
194, 5negsubd 11556 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
2019eqcomd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
2120mpteq2dva 5238 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
2218, 21eqtrid 2783 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
2322oveq1d 7405 . 2 (𝜑 → (𝐻 lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) lim 𝐷))
2411, 17, 233eltr4d 2847 1 (𝜑 → (𝐸𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cmpt 5221  (class class class)co 7390  cc 11087   + caddc 11092  cmin 11423  -cneg 11424   lim climc 25303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-map 8802  df-pm 8803  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-q 12912  df-rp 12954  df-xneg 13071  df-xadd 13072  df-xmul 13073  df-fz 13464  df-seq 13946  df-exp 14007  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-struct 17059  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-starv 17191  df-tset 17195  df-ple 17196  df-ds 17198  df-unif 17199  df-rest 17347  df-topn 17348  df-topgen 17368  df-psmet 20865  df-xmet 20866  df-met 20867  df-bl 20868  df-mopn 20869  df-cnfld 20874  df-top 22320  df-topon 22337  df-topsp 22359  df-bases 22373  df-cnp 22656  df-xms 23750  df-ms 23751  df-limc 25307
This theorem is referenced by:  fourierdlem60  44641  fourierdlem61  44642  fourierdlem74  44655  fourierdlem75  44656  fourierdlem76  44657
  Copyright terms: Public domain W3C validator