Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sublimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sublimc 42281
Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sublimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
sublimc.2 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
sublimc.3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
sublimc.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
sublimc.7 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
sublimc (𝜑 → (𝐸𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc
StepHypRef Expression
1 sublimc.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2801 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐶)
3 eqid 2801 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4 sublimc.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 sublimc.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65negcld 10977 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7 sublimc.6 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
8 sublimc.2 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
9 sublimc.7 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
108, 2, 5, 9neglimc 42276 . . 3 (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐶) lim 𝐷))
111, 2, 3, 4, 6, 7, 10addlimc 42277 . 2 (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) lim 𝐷))
12 limccl 24481 . . . . 5 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1312, 7sseldi 3916 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
14 limccl 24481 . . . . 5 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
1514, 9sseldi 3916 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
1613, 15negsubd 10996 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸𝐼))
1716eqcomd 2807 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18 sublimc.3 . . . 4 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
194, 5negsubd 10996 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
2019eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
2120mpteq2dva 5128 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
2218, 21syl5eq 2848 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
2322oveq1d 7154 . 2 (𝜑 → (𝐻 lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) lim 𝐷))
2411, 17, 233eltr4d 2908 1 (𝜑 → (𝐸𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cmpt 5113  (class class class)co 7139  cc 10528   + caddc 10533  cmin 10863  -cneg 10864   lim climc 24468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cnp 21836  df-xms 22930  df-ms 22931  df-limc 24472
This theorem is referenced by:  fourierdlem60  42795  fourierdlem61  42796  fourierdlem74  42809  fourierdlem75  42810  fourierdlem76  42811
  Copyright terms: Public domain W3C validator