Theorem sublimc 46253

Description: Subtraction of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
sublimc.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
sublimc.3	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
sublimc.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sublimc.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sublimc.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
sublimc.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sublimc	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem sublimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublimc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶))
4		sublimc.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		sublimc.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	negcld 11552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
7		sublimc.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
8		sublimc.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		sublimc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
10	8, 2, 5, 9	neglimc 46248	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐼 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) limℂ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 6, 7, 10	addlimc 46249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
12		limccl 25999	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
13	12, 7	sselid 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14		limccl 25999	. . . . 5 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
15	14, 9	sselid 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
16	13, 15	negsubd 11571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + -𝐼) = (𝐸 − 𝐼))
17	16	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) = (𝐸 + -𝐼))
18		sublimc.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
19	4, 5	negsubd 11571	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
20	19	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 + -𝐶))
21	20	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
22	18, 21	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)))
23	22	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) limℂ 𝐷))
24	11, 17, 23	3eltr4d 2884	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5193  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   + caddc 11099   − cmin 11437  -cneg 11438   lim_ℂ climc 25986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cnp 23350  df-xms 24442  df-ms 24443  df-limc 25990

This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46767  fourierdlem61  46768  fourierdlem74  46781  fourierdlem75  46782  fourierdlem76  46783