Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitscyglem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitscyglem3 42682
Description: Lemma for unitscyg . (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitscyglem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2 ↑ = (.g‘𝐺)
unitscyglem1.3 (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4 (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
Assertion
Ref Expression
unitscyglem3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑑,𝑥   𝐺,𝑑,𝑥   𝜑,𝑑   ↑ ,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   ↑ (𝑑)
Proof of Theorem unitscyglem3
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5075 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑐 ∥ (♯‘𝐵)))
2 eqeq2 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐))
32rabbidv 3398 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐})
43neeq1d 2993 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅))
51, 4anbi12d 638 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) ↔ (𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅)))
63fveq2d 6831 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}))
7 fveq2 6827 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘𝑐))
86, 7eqeq12d 2755 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑐 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))
95, 8imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑐 → (((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)) ↔ ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
109imbi2d 341 . . . . 5 (𝑑 = 𝑐 → ((𝜑 → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))) ↔ (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
11 simplr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → 𝜑)
12 simplll 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1311, 12jca 516 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → (𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ))
14 breq1 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑒 < 𝑑))
15 breq1 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑒 ∥ (♯‘𝐵)))
16 eqeq2 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = 𝑒 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒))
1716rabbidv 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = 𝑒 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒})
1817neeq1d 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑒 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅))
1915, 18anbi12d 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑒 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) ↔ (𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅)))
2017fveq2d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑒 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}))
21 fveq2 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑒 → (ϕ‘𝑐) = (ϕ‘𝑒))
2220, 21eqeq12d 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑒 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))
2319, 22imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = 𝑒 → (((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)) ↔ ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))
2423imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝑒 → ((𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))) ↔ (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))))
2514, 24imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑒 → ((𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ↔ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℕ)
3125, 29, 30rspcdva 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) → (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))))
32 simp-5r 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) ∧ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))) ∧ 𝑒 < 𝑑) → 𝜑)
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) ∧ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))) ∧ 𝑒 < 𝑑) → 𝑒 < 𝑑)
34 simplr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) ∧ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))) ∧ 𝑒 < 𝑑) → (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))))
3533, 34mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) ∧ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))) ∧ 𝑒 < 𝑑) → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))
3632, 35mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) ∧ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))) ∧ 𝑒 < 𝑑) → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))
3736ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) ∧ (𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))) → (𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))
3837ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) → ((𝑒 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))) → (𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))))
3931, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) ∧ 𝑒 ∈ ℕ) → (𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))
4039ralrimiva 3131 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → ∀𝑒 ∈ ℕ (𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))))
41 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑐(𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)))
42 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑒(𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))
43 breq1 5075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝑑))
44 breq1 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑐 ∥ (♯‘𝐵)))
45 eqeq2 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑐 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐))
4645rabbidv 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑐 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐})
4746neeq1d 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑐 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅))
4844, 47anbi12d 638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝑐 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) ↔ (𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅)))
4946fveq2d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑐 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}))
50 fveq2 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑐 → (ϕ‘𝑒) = (ϕ‘𝑐))
5149, 50eqeq12d 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝑐 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))
5248, 51imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑐 → (((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒)) ↔ ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
5343, 52imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑐 → ((𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))) ↔ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
5441, 42, 53cbvralw 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑒 ∈ ℕ (𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
5554biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑒 ∈ ℕ (𝑒 < 𝑑 → ((𝑒 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑒}) = (ϕ‘𝑒))) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
5640, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
5713, 56jca 516 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
58 simprl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → 𝑑 ∥ (♯‘𝐵))
5957, 58jca 516 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)))
60 simprr 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)
6159, 60jca 516 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅))
62 rabn0 4317 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑)
6362bilani 505 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑)
64 simp-4l 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))))
65 simp-4r 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝑑 ∥ (♯‘𝐵))
66 simplr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝑎 ∈ 𝐵)
6764, 65, 66jca31 519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑)
6967, 68jca 516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑))
70 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑥𝐵
71 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑧𝐵
72 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑧((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑
73 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑥((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑑
74 fveqeq2 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑑))
7570, 71, 72, 73, 74cbvrabw 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑑}
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑑})
7776fveq2d 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑑}))
78 unitscyglem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
79 unitscyglem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ↑ = (.g‘𝐺)
80 unitscyglem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8180ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝐺 ∈ Grp)
82 unitscyglem1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
8382ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝐵 ∈ Fin)
84 unitscyglem1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
85 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑧(𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)
86 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑥(𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)
87 oveq2 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝑛 ↑ 𝑥) = (𝑛 ↑ 𝑧))
8887eqeq1d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)))
8970, 71, 85, 86, 88cbvrabw 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)})
9190fveq2d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}))
9291breq1d 5082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛))
9392ralbidv 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛))
9493biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛))
9584, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
9695ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
97 simp-5r 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝑑 ∈ ℕ)
98 simpllr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝑑 ∥ (♯‘𝐵))
99 simplr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → 𝑎 ∈ 𝐵)
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑)
101 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ⅎ𝑥((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐
102 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ⅎ𝑧((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐
103 fveqeq2 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑥 → (((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐))
10471, 70, 101, 102, 103cbvrabw 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}
105 eqcom 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ↔ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐})
106104, 105mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}
107106neeq1i 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅ ↔ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅)
108107anbi2i 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) ↔ (𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅))
109106fveq2i 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐})
110109eqeq1i 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐) ↔ (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))
111108, 110imbi12i 351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)) ↔ ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))
112111imbi2i 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))) ↔ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
113112biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))) → (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
114113ralimi 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
115114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
117116adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
11978, 79, 81, 83, 96, 97, 98, 99, 100, 118unitscyglem2 42681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑧) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))
12077, 119eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))
12169, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))
122 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑎((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑
123 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑥((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑
124 fveqeq2 6836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑))
125122, 123, 124cbvrexw 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑)
126125bilani 505 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑎) = 𝑑)
127121, 126r19.29a 3147 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))
128127ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))
129128adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))
13063, 129mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) ∧ 𝑑 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))
13161, 130syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) ∧ (𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅)) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))
132131ex 413 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) ∧ 𝜑) → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))
133132ex 413 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))) → (𝜑 → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))))
134133ex 413 . . . . 5 (𝑑 ∈ ℕ → (∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝑑 → (𝜑 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)))) → (𝜑 → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))))
13510, 134indstr 12857 . . . 4 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))))
136135com12 32 . . 3 (𝜑 → (𝑑 ∈ ℕ → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑))))
137136imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))
138137ralrimiva 3131 1 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ ((𝑑 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑑}) = (ϕ‘𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ♯chash 14283   ∥ cdvds 16212  ϕcphi 16725  Basecbs 17170  0gc0g 17393  Grpcgrp 18900  .gcmg 19034  odcod 19490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-phi 16727  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-od 19494
This theorem is referenced by:  unitscyglem4  42683
  Copyright terms: Public domain W3C validator