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Theorem unitscyglem2 42197
Description: Lemma for unitscyg. (Contributed by metakunt, 13-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitscyglem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2 = (.g𝐺)
unitscyglem1.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑛 𝑥) = (0g𝐺)}) ≤ 𝑛)
unitscyglem2.1 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem2.2 (𝜑𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
unitscyglem2.3 (𝜑𝐴𝐵)
unitscyglem2.4 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷)
unitscyglem2.5 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
Assertion
Ref Expression
unitscyglem2 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
Distinct variable groups:   ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑛,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝐵,𝑛   𝐷,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑛,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐷(𝑛)   (𝑐)

Proof of Theorem unitscyglem2
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑘 → (𝑎𝐷𝑘𝐷))
21elrab 3692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷))
32biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷))
43adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷))
54simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
65elfzelzd 13565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 unitscyglem2.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℕ)
98nnzd 12640 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℤ)
10 unitscyglem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
154simprd 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘𝐷)
16 unitscyglem2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
186, 9, 14, 15, 17dvdstrd 16332 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))
19 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → 𝜑)
202, 5sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → 𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
2119, 20jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → (𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))))
222, 15sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → 𝑘𝐷)
2321, 22jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷))
24 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐷 / 𝑘) 𝐴) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) = 𝑘))
25 unitscyglem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
26 unitscyglem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 = (.g𝐺)
27 unitscyglem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2827ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝑙 · 𝑘) = 𝐷)
3029eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = (𝑙 · 𝑘))
3130oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) = ((𝑙 · 𝑘) / 𝑘))
32 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑙 ∈ ℕ)
3332nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑙 ∈ ℂ)
34 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3635ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ∈ ℂ)
38 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 1 ≤ 𝑘)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → 1 ≤ 𝑘)
4035, 39jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
41 elnnz1 12643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
4240, 41sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ)
4544nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ≠ 0)
4633, 37, 45divcan4d 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝑙 · 𝑘) / 𝑘) = 𝑙)
4731, 46eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) = 𝑙)
4847, 32eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℕ)
4948nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℕ0)
5049nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℤ)
51 unitscyglem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝐵)
5251ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐴𝐵)
5325, 26, 28, 50, 52mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) 𝐴) ∈ 𝐵)
547ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
5655nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
5756, 37, 45divcan1d 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) · 𝑘) = 𝐷)
58 unitscyglem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷)
5958ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷)
6059eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
61 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
6225, 61, 26odmulg 19574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝐷 / 𝑘) ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
6328, 52, 50, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
6460, 63eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
6559oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = ((𝐷 / 𝑘) gcd 𝐷))
6656, 37, 45divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝑘 · (𝐷 / 𝑘)) = 𝐷)
6766eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = (𝑘 · (𝐷 / 𝑘)))
6867oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd 𝐷) = ((𝐷 / 𝑘) gcd (𝑘 · (𝐷 / 𝑘))))
6949, 36gcdmultipled 16571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd (𝑘 · (𝐷 / 𝑘))) = (𝐷 / 𝑘))
7068, 69eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd 𝐷) = (𝐷 / 𝑘))
7165, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = (𝐷 / 𝑘))
7271oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))) = ((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
7364, 72eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = ((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
7457, 73eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))) = ((𝐷 / 𝑘) · 𝑘))
7525, 61, 53odcld 19570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) ∈ ℂ)
7750zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℂ)
7855nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 ≠ 0)
7956, 37, 78, 45divne0d 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ≠ 0)
8076, 37, 77, 79mulcand 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))) = ((𝐷 / 𝑘) · 𝑘) ↔ ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) = 𝑘))
8174, 80mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) = 𝑘)
8224, 53, 81elrabd 3694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) 𝐴) ∈ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
8382ne0d 4342 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
84 nndivides 16300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑘𝐷 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷))
8543, 54, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑘𝐷 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷))
8685biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑘𝐷 → ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷))
8786syldbl2 842 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷)
8883, 87r19.29a 3162 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
8923, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
9089ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
924, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
9318, 92jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
945, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ≤ 𝑘)
956, 94jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
9695, 41sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ ℕ)
9796nnred 12281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ ℝ)
988nnred 12281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℝ)
99 1red 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ∈ ℝ)
10098, 99resubcld 11691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝐷 − 1) ∈ ℝ)
101 elfzle2 13568 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐷 − 1))
1025, 101syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ≤ (𝐷 − 1))
10398ltm1d 12200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝐷 − 1) < 𝐷)
10497, 100, 98, 102, 103lelttrd 11419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 < 𝐷)
105 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 < 𝐷𝑘 < 𝐷))
106 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
107 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑘 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘))
108107rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑘 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} = {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
109108neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → ({𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅ ↔ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
110106, 109anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) ↔ (𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)))
111108fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
112 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → (ϕ‘𝑐) = (ϕ‘𝑘))
113111, 112eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑘 → ((♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐) ↔ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
114110, 113imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑘 → (((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)) ↔ ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))))
115105, 114imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))) ↔ (𝑘 < 𝐷 → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))))
116 unitscyglem2.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
117116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
118115, 117, 96rspcdva 3623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 < 𝐷 → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))))
119104, 118mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
12093, 119mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))
121120sumeq2dv 15738 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
122121eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
123122oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})))
124 elun 4153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
125124biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
127 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 1 ∈ ℤ)
1287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
129128nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
130 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷) → 𝑎 ∈ ℤ)
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ ℤ)
133 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 1 ≤ 𝑎)
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷) → 1 ≤ 𝑎)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 1 ≤ 𝑎)
136132zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
137128nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
138 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
139137, 138resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → (𝐷 − 1) ∈ ℝ)
140 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑎 ≤ (𝐷 − 1))
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷) → 𝑎 ≤ (𝐷 − 1))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ≤ (𝐷 − 1))
143137ltm1d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → (𝐷 − 1) < 𝐷)
144136, 139, 137, 142, 143lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 < 𝐷)
145136, 137, 144ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎𝐷)
146127, 129, 132, 135, 145elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ (1...𝐷))
147146rabss3d 4081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
148147sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
149148imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
150 elsni 4643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝐷} → 𝑦 = 𝐷)
151150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 = 𝐷)
152 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 = 𝐷) → 𝑦 = 𝐷)
153 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎𝐷𝐷𝐷))
154 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1557nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1567nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐷)
1577nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
158157leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷𝐷)
159154, 155, 155, 156, 158elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ (1...𝐷))
160 iddvds 16307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
161155, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷𝐷)
162153, 159, 161elrabd 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 = 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
164152, 163eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 = 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
165164ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 = 𝐷𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝐷}) → (𝑦 = 𝐷𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
167151, 166mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
168149, 167jaodan 960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷})) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
169168ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
170169adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})) → ((𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
171126, 170mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
172171ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦 = 𝐷)
174 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
1757ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
176 elsng 4640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ {𝐷} ↔ 𝐷 = 𝐷))
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝐷} ↔ 𝐷 = 𝐷))
178174, 177mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝐷})
179173, 178eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝐷})
180179olcd 875 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
181 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝐷𝑦𝐷))
182181elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
183182biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} → (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
184183adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
186 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 1 ∈ ℤ)
187155ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
188187, 186zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝐷 − 1) ∈ ℤ)
189 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1...𝐷) → 𝑦 ∈ ℤ)
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℤ)
191190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ ℤ)
192 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1...𝐷) → 1 ≤ 𝑦)
193192adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 1 ≤ 𝑦)
194193adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 1 ≤ 𝑦)
195 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (1...𝐷) → 𝑦𝐷)
196195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
197196adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦𝐷)
198 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 = 𝐷𝑦𝐷)
199198adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦𝐷)
200199necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷𝑦)
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷𝑦)
202197, 201jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝑦𝐷𝐷𝑦))
203191zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ ℝ)
204157ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
205203, 204ltlend 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝑦 < 𝐷 ↔ (𝑦𝐷𝐷𝑦)))
206202, 205mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 < 𝐷)
2077ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
208207nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
209191, 208zltlem1d 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝑦 < 𝐷𝑦 ≤ (𝐷 − 1)))
210206, 209mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ≤ (𝐷 − 1))
211186, 188, 191, 194, 210elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
212 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦𝐷)
213181, 211, 212elrabd 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
214213ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}))
215185, 214mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
216215orcd 874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
217180, 216pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
218217, 124sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}))
219218ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})))
220172, 219impbid 212 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
221220eqrdv 2735 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) = {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
222221sumeq1d 15736 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
223 phisum 16828 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = 𝐷)
2247, 223syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = 𝐷)
225 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
226225imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷) ↔ (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴)))
22758, 226mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
228227oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥))
229228eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐷 𝑥) = (0g𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)))
230229rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)} = {𝑥𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)})
231230fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)}))
232 unitscyglem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑛 𝑥) = (0g𝐺)}) ≤ 𝑛)
23325, 26, 27, 10, 232, 51unitscyglem1 42196 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))
234231, 233eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))
235234, 58eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}))
23625, 26, 27, 10, 7grpods 42195 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}))
237235, 236eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
238221eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} = ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}))
239238sumeq1d 15736 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
240237, 239eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
241224, 240eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
242 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ∈ ℤ)
243155adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℤ)
244181elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐷))
245244biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐷))
246245adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐷))
247246simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ ℕ)
248247nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ ℤ)
249247nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ≤ 𝑦)
250246simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦𝐷)
2517adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℕ)
252 dvdsle 16347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
253248, 251, 252syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
254250, 253mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦𝐷)
255242, 243, 248, 249, 254elfzd 13555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ (1...𝐷))
256181, 255, 250elrabd 3694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
257256ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
258 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (1...𝐷) → 𝑎 ∈ ℤ)
259 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (1...𝐷) → 1 ≤ 𝑎)
260258, 259jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (1...𝐷) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
261260adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑎𝐷) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
262261adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑎𝐷)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
263 elnnz1 12643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
264262, 263sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ ℕ)
265264rabss3d 4081 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷})
266265sseld 3982 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}))
267257, 266impbid 212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} ↔ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
268267eqrdv 2735 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} = {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
269268sumeq1d 15736 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
270241, 269eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
271222, 270eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
272 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘𝜑
273 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
274 fzfid 14014 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(𝐷 − 1)) ∈ Fin)
275 ssrab2 4080 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ (1...(𝐷 − 1))
276275a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ (1...(𝐷 − 1)))
277274, 276ssfid 9301 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∈ Fin)
278153elrab 3692 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝐷𝐷))
279278biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → (𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝐷𝐷))
280279simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → 𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
281280adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
282 elfzle2 13568 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
283281, 282syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
284157ltm1d 12200 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 − 1) < 𝐷)
285 1red 11262 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
286157, 285resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℝ)
287286, 157ltnled 11408 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷 − 1) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (𝐷 − 1)))
288284, 287mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
289288adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ¬ 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
290283, 289pm2.21dd 195 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
291 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
292290, 291pm2.61dan 813 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
29310adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐵 ∈ Fin)
294 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵
295294a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵)
296293, 295ssfid 9301 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin)
297 hashcl 14395 . . . . . . . 8 ({𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
298296, 297syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
299298nn0cnd 12589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℂ)
300 eqeq2 2749 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐷 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷))
301300rabbidv 3444 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐷 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
302301fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐷 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}))
303 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ⊆ 𝐵
304303a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ⊆ 𝐵)
30510, 304ssfid 9301 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ∈ Fin)
306 hashcl 14395 . . . . . . . 8 ({𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) ∈ ℕ0)
307305, 306syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) ∈ ℕ0)
308307nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) ∈ ℂ)
309272, 273, 277, 7, 292, 299, 302, 308fsumsplitsn 15780 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})))
310271, 309eqtr2d 2778 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘))
311 nfcv 2905 . . . . 5 𝑘(ϕ‘𝐷)
312120, 299eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℂ)
313 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝐷 → (ϕ‘𝑘) = (ϕ‘𝐷))
3147phicld 16809 . . . . . 6 (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ)
315314nncnd 12282 . . . . 5 (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℂ)
316272, 311, 277, 7, 292, 312, 313, 315fsumsplitsn 15780 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)))
317310, 316eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)))
318123, 317eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)))
319277, 312fsumcl 15769 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) ∈ ℂ)
320319, 308, 315addcand 11464 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)) ↔ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷)))
321318, 320mpbid 232 1 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  chash 14369  Σcsu 15722  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  ϕcphi 16801  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  .gcmg 19085  odcod 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-phi 16803  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-od 19546
This theorem is referenced by:  unitscyglem3  42198
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