Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitscyglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitscyglem2 42178
Description: Lemma for unitscyg. (Contributed by metakunt, 13-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitscyglem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2 = (.g𝐺)
unitscyglem1.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑛 𝑥) = (0g𝐺)}) ≤ 𝑛)
unitscyglem2.1 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem2.2 (𝜑𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
unitscyglem2.3 (𝜑𝐴𝐵)
unitscyglem2.4 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷)
unitscyglem2.5 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
Assertion
Ref Expression
unitscyglem2 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
Distinct variable groups:   ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑛,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝐵,𝑛   𝐷,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑛,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐷(𝑛)   (𝑐)

Proof of Theorem unitscyglem2
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑘 → (𝑎𝐷𝑘𝐷))
21elrab 3695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷))
32biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷))
43adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷))
54simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
65elfzelzd 13562 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 unitscyglem2.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℕ)
98nnzd 12638 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℤ)
10 unitscyglem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
154simprd 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘𝐷)
16 unitscyglem2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
186, 9, 14, 15, 17dvdstrd 16329 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))
19 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → 𝜑)
202, 5sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → 𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
2119, 20jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → (𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))))
222, 15sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → 𝑘𝐷)
2321, 22jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷))
24 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐷 / 𝑘) 𝐴) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) = 𝑘))
25 unitscyglem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
26 unitscyglem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 = (.g𝐺)
27 unitscyglem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2827ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝑙 · 𝑘) = 𝐷)
3029eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = (𝑙 · 𝑘))
3130oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) = ((𝑙 · 𝑘) / 𝑘))
32 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑙 ∈ ℕ)
3332nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑙 ∈ ℂ)
34 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3635ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ∈ ℂ)
38 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 1 ≤ 𝑘)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → 1 ≤ 𝑘)
4035, 39jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
41 elnnz1 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
4240, 41sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ)
4544nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝑘 ≠ 0)
4633, 37, 45divcan4d 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝑙 · 𝑘) / 𝑘) = 𝑙)
4731, 46eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) = 𝑙)
4847, 32eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℕ)
4948nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℕ0)
5049nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℤ)
51 unitscyglem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝐵)
5251ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐴𝐵)
5325, 26, 28, 50, 52mulgcld 19127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) 𝐴) ∈ 𝐵)
547ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
5655nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
5756, 37, 45divcan1d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) · 𝑘) = 𝐷)
58 unitscyglem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷)
5958ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷)
6059eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
61 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
6225, 61, 26odmulg 19589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝐷 / 𝑘) ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
6328, 52, 50, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
6460, 63eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
6559oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = ((𝐷 / 𝑘) gcd 𝐷))
6656, 37, 45divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝑘 · (𝐷 / 𝑘)) = 𝐷)
6766eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = (𝑘 · (𝐷 / 𝑘)))
6867oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd 𝐷) = ((𝐷 / 𝑘) gcd (𝑘 · (𝐷 / 𝑘))))
6949, 36gcdmultipled 16568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd (𝑘 · (𝐷 / 𝑘))) = (𝐷 / 𝑘))
7068, 69eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd 𝐷) = (𝐷 / 𝑘))
7165, 70eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) = (𝐷 / 𝑘))
7271oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (((𝐷 / 𝑘) gcd ((od‘𝐺)‘𝐴)) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))) = ((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
7364, 72eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 = ((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))))
7457, 73eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))) = ((𝐷 / 𝑘) · 𝑘))
7525, 61, 53odcld 19585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) ∈ ℂ)
7750zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ∈ ℂ)
7855nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → 𝐷 ≠ 0)
7956, 37, 78, 45divne0d 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (𝐷 / 𝑘) ≠ 0)
8076, 37, 77, 79mulcand 11894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → (((𝐷 / 𝑘) · ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴))) = ((𝐷 / 𝑘) · 𝑘) ↔ ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) = 𝑘))
8174, 80mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘((𝐷 / 𝑘) 𝐴)) = 𝑘)
8224, 53, 81elrabd 3697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → ((𝐷 / 𝑘) 𝐴) ∈ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
8382ne0d 4348 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
84 nndivides 16297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑘𝐷 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷))
8543, 54, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑘𝐷 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷))
8685biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → (𝑘𝐷 → ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷))
8786syldbl2 841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → ∃𝑙 ∈ ℕ (𝑙 · 𝑘) = 𝐷)
8883, 87r19.29a 3160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1))) ∧ 𝑘𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
8923, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷)) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
9089ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑘𝐷) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
924, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
9318, 92jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
945, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ≤ 𝑘)
956, 94jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
9695, 41sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ ℕ)
9796nnred 12279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ∈ ℝ)
988nnred 12279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℝ)
99 1red 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ∈ ℝ)
10098, 99resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝐷 − 1) ∈ ℝ)
101 elfzle2 13565 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐷 − 1))
1025, 101syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 ≤ (𝐷 − 1))
10398ltm1d 12198 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝐷 − 1) < 𝐷)
10497, 100, 98, 102, 103lelttrd 11417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑘 < 𝐷)
105 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 < 𝐷𝑘 < 𝐷))
106 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
107 eqeq2 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑘 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘))
108107rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑘 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} = {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
109108neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → ({𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅ ↔ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
110106, 109anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) ↔ (𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)))
111108fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
112 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑘 → (ϕ‘𝑐) = (ϕ‘𝑘))
113111, 112eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑘 → ((♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐) ↔ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
114110, 113imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑘 → (((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐)) ↔ ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))))
115105, 114imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))) ↔ (𝑘 < 𝐷 → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))))
116 unitscyglem2.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
117116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ∀𝑐 ∈ ℕ (𝑐 < 𝐷 → ((𝑐 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑐}) = (ϕ‘𝑐))))
118115, 117, 96rspcdva 3623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑘 < 𝐷 → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))))
119104, 118mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
12093, 119mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))
121120sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
122121eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
123122oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})))
124 elun 4163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) ↔ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
125124biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
127 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 1 ∈ ℤ)
1287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
129128nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
130 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷) → 𝑎 ∈ ℤ)
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ ℤ)
133 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 1 ≤ 𝑎)
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷) → 1 ≤ 𝑎)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 1 ≤ 𝑎)
136132zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
137128nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
138 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
139137, 138resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → (𝐷 − 1) ∈ ℝ)
140 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝑎 ≤ (𝐷 − 1))
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷) → 𝑎 ≤ (𝐷 − 1))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ≤ (𝐷 − 1))
143137ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → (𝐷 − 1) < 𝐷)
144136, 139, 137, 142, 143lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 < 𝐷)
145136, 137, 144ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎𝐷)
146127, 129, 132, 135, 145elfzd 13552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ (1...𝐷))
147146rabss3d 4091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
148147sseld 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
149148imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
150 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝐷} → 𝑦 = 𝐷)
151150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 = 𝐷)
152 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 = 𝐷) → 𝑦 = 𝐷)
153 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎𝐷𝐷𝐷))
154 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1557nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1567nnge1d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐷)
1577nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
158157leidd 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷𝐷)
159154, 155, 155, 156, 158elfzd 13552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ (1...𝐷))
160 iddvds 16304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
161155, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷𝐷)
162153, 159, 161elrabd 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 = 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
164152, 163eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 = 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
165164ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 = 𝐷𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝐷}) → (𝑦 = 𝐷𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
167151, 166mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
168149, 167jaodan 959 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷})) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
169168ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
170169adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})) → ((𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
171126, 170mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
172171ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦 = 𝐷)
174 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
1757ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
176 elsng 4645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ {𝐷} ↔ 𝐷 = 𝐷))
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → (𝐷 ∈ {𝐷} ↔ 𝐷 = 𝐷))
178174, 177mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷 ∈ {𝐷})
179173, 178eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝐷})
180179olcd 874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ 𝑦 = 𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
181 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝐷𝑦𝐷))
182181elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
183182biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} → (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
184183adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷))
186 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 1 ∈ ℤ)
187155ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
188187, 186zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝐷 − 1) ∈ ℤ)
189 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1...𝐷) → 𝑦 ∈ ℤ)
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℤ)
191190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ ℤ)
192 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1...𝐷) → 1 ≤ 𝑦)
193192adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 1 ≤ 𝑦)
194193adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 1 ≤ 𝑦)
195 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (1...𝐷) → 𝑦𝐷)
196195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
197196adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦𝐷)
198 neqne 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 = 𝐷𝑦𝐷)
199198adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦𝐷)
200199necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → 𝐷𝑦)
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷𝑦)
202197, 201jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝑦𝐷𝐷𝑦))
203191zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ ℝ)
204157ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
205203, 204ltlend 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝑦 < 𝐷 ↔ (𝑦𝐷𝐷𝑦)))
206202, 205mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 < 𝐷)
2077ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
208207nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
209191, 208zltlem1d 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → (𝑦 < 𝐷𝑦 ≤ (𝐷 − 1)))
210206, 209mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ≤ (𝐷 − 1))
211186, 188, 191, 194, 210elfzd 13552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
212 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦𝐷)
213181, 211, 212elrabd 3697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
214213ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → ((𝑦 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}))
215185, 214mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
216215orcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) ∧ ¬ 𝑦 = 𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
217180, 216pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∨ 𝑦 ∈ {𝐷}))
218217, 124sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}))
219218ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})))
220172, 219impbid 212 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
221220eqrdv 2733 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}) = {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
222221sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
223 phisum 16824 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = 𝐷)
2247, 223syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = 𝐷)
225 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
226225imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = 𝐷) ↔ (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴)))
22758, 226mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
228227oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥))
229228eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐷 𝑥) = (0g𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)))
230229rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)} = {𝑥𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)})
231230fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)}))
232 unitscyglem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑛 𝑥) = (0g𝐺)}) ≤ 𝑛)
23325, 26, 27, 10, 232, 51unitscyglem1 42177 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) 𝑥) = (0g𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))
234231, 233eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))
235234, 58eqtr2d 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}))
23625, 26, 27, 10, 7grpods 42176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝐷 𝑥) = (0g𝐺)}))
237235, 236eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
238221eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} = ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷}))
239238sumeq1d 15733 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
240237, 239eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
241224, 240eqtr2d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
242 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ∈ ℤ)
243155adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℤ)
244181elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐷))
245244biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐷))
246245adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐷))
247246simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ ℕ)
248247nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ ℤ)
249247nnge1d 12312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 1 ≤ 𝑦)
250246simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦𝐷)
2517adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ ℕ)
252 dvdsle 16344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
253248, 251, 252syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
254250, 253mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦𝐷)
255242, 243, 248, 249, 254elfzd 13552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ (1...𝐷))
256181, 255, 250elrabd 3697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}) → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
257256ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
258 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (1...𝐷) → 𝑎 ∈ ℤ)
259 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (1...𝐷) → 1 ≤ 𝑎)
260258, 259jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (1...𝐷) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
261260adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑎𝐷) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
262261adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑎𝐷)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
263 elnnz1 12641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
264262, 263sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...𝐷) ∧ 𝑎𝐷)) → 𝑎 ∈ ℕ)
265264rabss3d 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷})
266265sseld 3994 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} → 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷}))
267257, 266impbid 212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} ↔ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷}))
268267eqrdv 2733 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} = {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷})
269268sumeq1d 15733 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘))
270241, 269eqtr2d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...𝐷) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
271222, 270eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
272 nfv 1912 . . . . . 6 𝑘𝜑
273 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
274 fzfid 14011 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(𝐷 − 1)) ∈ Fin)
275 ssrab2 4090 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ (1...(𝐷 − 1))
276275a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ⊆ (1...(𝐷 − 1)))
277274, 276ssfid 9299 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∈ Fin)
278153elrab 3695 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ↔ (𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝐷𝐷))
279278biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → (𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∧ 𝐷𝐷))
280279simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} → 𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
281280adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)))
282 elfzle2 13565 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (1...(𝐷 − 1)) → 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
283281, 282syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
284157ltm1d 12198 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 − 1) < 𝐷)
285 1red 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
286157, 285resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℝ)
287286, 157ltnled 11406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷 − 1) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (𝐷 − 1)))
288284, 287mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
289288adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ¬ 𝐷 ≤ (𝐷 − 1))
290283, 289pm2.21dd 195 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
291 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
292290, 291pm2.61dan 813 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷})
29310adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → 𝐵 ∈ Fin)
294 ssrab2 4090 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵
295294a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵)
296293, 295ssfid 9299 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin)
297 hashcl 14392 . . . . . . . 8 ({𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
298296, 297syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
299298nn0cnd 12587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℂ)
300 eqeq2 2747 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐷 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷))
301300rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐷 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
302301fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐷 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}))
303 ssrab2 4090 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ⊆ 𝐵
304303a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ⊆ 𝐵)
30510, 304ssfid 9299 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ∈ Fin)
306 hashcl 14392 . . . . . . . 8 ({𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) ∈ ℕ0)
307305, 306syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) ∈ ℕ0)
308307nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) ∈ ℂ)
309272, 273, 277, 7, 292, 299, 302, 308fsumsplitsn 15777 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})))
310271, 309eqtr2d 2776 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘))
311 nfcv 2903 . . . . 5 𝑘(ϕ‘𝐷)
312120, 299eqeltrrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷}) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℂ)
313 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 𝐷 → (ϕ‘𝑘) = (ϕ‘𝐷))
3147phicld 16806 . . . . . 6 (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ)
315314nncnd 12280 . . . . 5 (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℂ)
316272, 311, 277, 7, 292, 312, 313, 315fsumsplitsn 15777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} ∪ {𝐷})(ϕ‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)))
317310, 316eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)))
318123, 317eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)))
319277, 312fsumcl 15766 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) ∈ ℂ)
320319, 308, 315addcand 11462 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})) = (Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(𝐷 − 1)) ∣ 𝑎𝐷} (ϕ‘𝑘) + (ϕ‘𝐷)) ↔ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷)))
321318, 320mpbid 232 1 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  chash 14366  Σcsu 15719  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  ϕcphi 16798  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-phi 16800  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-od 19561
This theorem is referenced by:  unitscyglem3  42179
  Copyright terms: Public domain W3C validator