Theorem unitscyglem4 42565

Description: Lemma for unitscyg . (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
unitscyglem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
unitscyglem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem4.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem4	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑ ,𝑛   𝑥,𝐵,𝑛   𝑦,𝐵,𝑥   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐺,𝑛   𝑦,𝐺   𝜑,𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐷(𝑛)   ↑ (𝑦)

Proof of Theorem unitscyglem4

Dummy variables 𝑙 𝑎 𝑘 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷
4		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷
5		fveqeq2 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷))
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvrabw 3436	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}
7	6	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}))
9		unitscyglem4.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
11	10	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅ → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵)))
12	11	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅ → (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)))
13	12	imdistani 568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (𝜑 ∧ (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)))
14		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → (𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝐷 ∥ (♯‘𝐵)))
15		eqeq2 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷))
16	15	rabbidv 3408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
17	16	neeq1d 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅))
18	14, 17	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → ((𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅) ↔ (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)))
19	16	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}))
20		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → (ϕ‘𝑚) = (ϕ‘𝐷))
21	19, 20	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (ϕ‘𝑚) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷)))
22	18, 21	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝐷 → (((𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (ϕ‘𝑚)) ↔ ((𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))))
23		unitscyglem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24		unitscyglem1.2	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
25		unitscyglem1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
26		unitscyglem1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
27		unitscyglem1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
28	23, 24, 25, 26, 27	unitscyglem3 42564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (ϕ‘𝑚)))
29		unitscyglem4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
30	22, 28, 29	rspcdva 3579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷)))
31	30	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
32	13, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
33	8, 32	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
34		id 22	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅ → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)
35	34	necon1bi 2961	. . . 4 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅ → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅)
36	35	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅)
37	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → 𝐺 ∈ Grp)
38	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
39	23, 37, 38	hashfingrpnn 18914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
40	23, 24, 37, 38, 39	grpods 42561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)) → (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵))
42	41	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) = (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)))
43	42	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = ((𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↑ 𝑥))
44	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℤ)
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49	23, 47, 48	odcld 19493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
52		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
53	46, 51, 52	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
54	23, 24	mulgass 19053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑙 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↑ 𝑥) = (𝑙 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑥) ↑ 𝑥)))
55	45, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → ((𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↑ 𝑥) = (𝑙 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑥) ↑ 𝑥)))
56		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
57	23, 47, 24, 56	odid 19479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺))
58	52, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺))
59	58	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑥) ↑ 𝑥)) = (𝑙 ↑ (0g‘𝐺)))
60	23, 24, 56	mulgz 19044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
61	44, 60	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
62	59, 61	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑥) ↑ 𝑥)) = (0g‘𝐺))
63	55, 62	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → ((𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)) → ((𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺))
65	43, 64	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺))
66	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
67	23, 47	oddvds2 19507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
68	44, 66, 48, 67	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
69	49	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
70		hashcl 14291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
71	66, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
72	71	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
73		divides 16193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)))
74	69, 72, 73	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵)))
75	68, 74	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑙 · ((od‘𝐺)‘𝑥)) = (♯‘𝐵))
76	65, 75	r19.29a 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺))
77	76	rabeqcda 3412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = 𝐵)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = 𝐵)
79	78	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((♯‘𝐵) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
80	40, 79	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
81		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅)
82		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)})
83		fzfid 13908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (1...(♯‘𝐵)) ∈ Fin)
84		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...(♯‘𝐵))
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
86	83, 85	ssfid 9181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∈ Fin)
87	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝐵 ∈ Fin)
88		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵)
90	87, 89	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin)
91		hashcl 14291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
93	92	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℂ)
94		breq1 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (♯‘𝐵) → (𝑎 ∥ (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐵) ∥ (♯‘𝐵)))
95		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → 1 ∈ ℤ)
96	39	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
97	39	nnge1d 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐵))
98	39	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
99	98	leidd 11715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐵))
100	95, 96, 96, 97, 99	elfzd 13443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
101		iddvds 16208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (♯‘𝐵) ∥ (♯‘𝐵))
102	96, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∥ (♯‘𝐵))
103	94, 100, 102	elrabd 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
104		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (♯‘𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)))
105	104	rabbidv 3408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (♯‘𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)})
106	105	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (♯‘𝐵) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}))
107	81, 82, 86, 93, 103, 106	fsumsplit1 15680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) + Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})))
108		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ⊆ 𝐵
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ⊆ 𝐵)
110	38, 109	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ∈ Fin)
111		hashcl 14291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) ∈ ℕ0)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) ∈ ℕ0)
113	112	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) ∈ ℝ)
114		diffi 9111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∈ Fin → ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) ∈ Fin)
115	86, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) ∈ Fin)
116	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → 𝐵 ∈ Fin)
117	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵)
118	116, 117	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin)
119	118, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
120	115, 119	fsumnn0cl 15671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
121	120	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℝ)
122	39	phicld 16711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (ϕ‘(♯‘𝐵)) ∈ ℕ)
123	122	nnred 12172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (ϕ‘(♯‘𝐵)) ∈ ℝ)
124		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) → 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
125		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝑎 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
126	125	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ↔ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
127	126	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
128		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℤ)
129		elfzle1 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 1 ≤ 𝑘)
130	128, 129	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
132	127, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
133	124, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
135		elnnz1 12529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
136	134, 135	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → 𝑘 ∈ ℕ)
137		phicl 16708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑘) ∈ ℕ)
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℕ)
139	138	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℝ)
140	115, 139	fsumrecl 15669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘) ∈ ℝ)
141		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝜑)
142		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
143	141, 142	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
144		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵))
145	143, 144	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)))
146		fveqeq2 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷 ↔ ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧)) = 𝐷))
147	25	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
148	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 ∥ (♯‘𝐵))
149	29	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
150	149	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
151	149	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
152	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
153	152, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
154	153	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
155		dvdsval2 16194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ))
156	150, 151, 154, 155	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ))
157	148, 156	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ)
158		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
159	23, 24, 147, 157, 158	mulgcld 19038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧) ∈ 𝐵)
160	153	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
161	29	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
162	161	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
163	23, 147, 152	hashfingrpnn 18914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
164	163	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ≠ 0)
165	160, 160, 162, 164, 151	divdiv2d 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐷)) = (((♯‘𝐵) · 𝐷) / (♯‘𝐵)))
166	162, 160, 164	divcan3d 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) · 𝐷) / (♯‘𝐵)) = 𝐷)
167	165, 166	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐷)))
168		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵))
169	168	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) = (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd (♯‘𝐵)))
170	26, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
171	170	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
172	29	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
173	171, 161, 172	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((♯‘𝐵) / 𝐷)) = (♯‘𝐵))
174	173	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝐷 · ((♯‘𝐵) / 𝐷)))
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐵) = (𝐷 · ((♯‘𝐵) / 𝐷)))
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) = (𝐷 · ((♯‘𝐵) / 𝐷)))
177	176	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd (𝐷 · ((♯‘𝐵) / 𝐷))))
178		nndivdvds 16200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℕ))
179	163, 149, 178	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (𝐷 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℕ))
180	148, 179	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℕ)
181	180	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℕ0)
182	181, 150	gcdmultipled 16473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd (𝐷 · ((♯‘𝐵) / 𝐷))) = ((♯‘𝐵) / 𝐷))
183	177, 182	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) / 𝐷))
184	169, 183	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) = ((♯‘𝐵) / 𝐷))
185	184	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐷) = (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)))
186	185	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐷)) = ((♯‘𝐵) / (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧))))
187	167, 186	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → 𝐷 = ((♯‘𝐵) / (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧))))
188	168	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) = ((od‘𝐺)‘𝑧))
189	23, 47, 24	odmulg 19497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝑧) = ((((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) · ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧))))
190	147, 158, 157, 189	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘𝑧) = ((((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) · ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧))))
191	188, 190	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) = ((((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) · ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧))))
192	191	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) · ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧))) = (♯‘𝐵))
193	157	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
194	184, 193	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ)
195	23, 47, 159	odcld 19493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧)) ∈ ℕ0)
196	195	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧)) ∈ ℂ)
197	168, 154	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ)
198	168, 164	eqnetrd 3000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘𝑧) ≠ 0)
199	157, 197, 198	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) ≠ 0))
200		gcd2n0cl 16448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((♯‘𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) ≠ 0) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) ∈ ℕ)
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) ∈ ℕ)
202	201	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) ≠ 0)
203	160, 194, 196, 202	divmuld 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧))) = ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧)) ↔ ((((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧)) · ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧))) = (♯‘𝐵)))
204	192, 203	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) / (((♯‘𝐵) / 𝐷) gcd ((od‘𝐺)‘𝑧))) = ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧)))
205	187, 204	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → ((od‘𝐺)‘(((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧)) = 𝐷)
206	146, 159, 205	elrabd 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷})
207		ne0i 4295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝐵) / 𝐷) ↑ 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)
208	206, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)
209	145, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)
210		rabn0 4343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
211		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)
212		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)
213		fveqeq2 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵)))
214	211, 212, 213	cbvrexw 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵))
215	210, 214	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵))
216	215	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵))
217	216	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑧) = (♯‘𝐵))
218	209, 217	r19.29a 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅)
219	218	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} ≠ ∅ → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅))
220	219	necon4d 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅ → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} = ∅))
221	220	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)} = ∅)
222	221	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) = (♯‘∅))
223		hash0 14302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
224	223	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘∅) = 0)
225	222, 224	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) = 0)
226	122	nngt0d 12206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → 0 < (ϕ‘(♯‘𝐵)))
227	225, 226	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) < (ϕ‘(♯‘𝐵)))
228		eldif 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) ↔ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}))
229	228	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) → (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}))
230	229	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}))
231		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
232	231	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ↔ (𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
233	232	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → (𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
234	233	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}) → (𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
235		velsn 4598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)} ↔ 𝑧 = (♯‘𝐵))
236	235	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = (♯‘𝐵) ↔ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)})
237	236	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = (♯‘𝐵) → 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)})
238	237	necon3bi 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)} → 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))
239	238	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}) → 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))
240	234, 239	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}) → ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)))
241	240	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)})) → ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)))
242		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
243	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝐵 ∈ Fin)
244	243, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
245	244	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
246	245, 242	zsubcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
247		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
248	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
249	248	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
250	249	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ∈ ℤ)
251		elfzle1 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 1 ≤ 𝑧)
252	251	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) → 1 ≤ 𝑧)
253	252	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)) → 1 ≤ 𝑧)
254	253	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 1 ≤ 𝑧)
255		elfzle2 13456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 𝑧 ≤ (♯‘𝐵))
256	255	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ≤ (♯‘𝐵))
257	256	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ≤ (♯‘𝐵))
258	257	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ≤ (♯‘𝐵))
259		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))
260	259	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) ≠ 𝑧)
261	258, 260	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (𝑧 ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ 𝑧))
262	250	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
263	244	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
264	262, 263	ltlend 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (𝑧 < (♯‘𝐵) ↔ (𝑧 ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ 𝑧)))
265	261, 264	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 < (♯‘𝐵))
266	250, 245	zltlem1d 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → (𝑧 < (♯‘𝐵) ↔ 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1)))
267	265, 266	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1))
268	242, 246, 250, 254, 267	elfzd 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)))
269		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ∥ (♯‘𝐵))
270	231, 268, 269	elrabd 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
271	270	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
272	271	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)})) → (((𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
273	241, 272	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)})) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
274	273	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
275	274	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → ((𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(♯‘𝐵)}) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
276	230, 275	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
277	276	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
278	277	ssrdv 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) ⊆ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
279		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
280	170	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
281	280	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
282		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
283	282	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
284		elfzle1 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → 1 ≤ 𝑧)
285	284	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 1 ≤ 𝑧)
286	283	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
287	281	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
288		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
289	287, 288	resubcld 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℝ)
290		elfzle2 13456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1))
291	290	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1))
292	287	lem1d 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
293	286, 289, 287, 291, 292	letrd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑧 ≤ (♯‘𝐵))
294	279, 281, 283, 285, 293	elfzd 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
295	294	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → 𝑧 ∈ (1...(♯‘𝐵))))
296	295	ssrdv 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
297		rabss2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1...((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (1...(♯‘𝐵)) → {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
298	296, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
299	298	sseld 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
300	299	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
301	170	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
302	301	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
303	302	leidd 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐵))
304		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → 𝑧 = (♯‘𝐵))
305	304	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) = 𝑧)
306	231	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ↔ (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
307	306	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
308	307	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)))
309	291	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1))
310	309	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1)))
311	310	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → ((𝑧 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑧 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1)))
312	308, 311	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1))
313	300, 233, 248	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑧 ∈ ℤ)
314	280	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
315	313, 314	zltlem1d 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (𝑧 < (♯‘𝐵) ↔ 𝑧 ≤ ((♯‘𝐵) − 1)))
316	312, 315	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑧 < (♯‘𝐵))
317	316	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → 𝑧 < (♯‘𝐵))
318	305, 317	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐵))
319	302, 302	ltnled 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐵) ↔ ¬ (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐵)))
320	318, 319	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → ¬ (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐵))
321	303, 320	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 = (♯‘𝐵)) → 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))
322		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ 𝑧 ≠ (♯‘𝐵)) → 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))
323	321, 322	pm2.61dane 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑧 ≠ (♯‘𝐵))
324	300, 323	eldifsnd 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}))
325	324	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → 𝑧 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})))
326	325	ssrdv 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}))
327	278, 326	eqssd 3953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)}) = {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
328	327	sumeq1d 15635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
329		fzfid 13908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∈ Fin)
330		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...((♯‘𝐵) − 1))
331	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...((♯‘𝐵) − 1)))
332	329, 331	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∈ Fin)
333	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝐵 ∈ Fin)
334	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵)
335	333, 334	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin)
336	335, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℕ0)
337	336	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℝ)
338	125	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ↔ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
339	338	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} → (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
340	339	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
341		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
342		elfzle1 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → 1 ≤ 𝑘)
343	341, 342	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
344	343	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
345	344	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
346	345, 135	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑘 ∈ ℕ)
347	346	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ))
348	347	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → ((𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑘 ∈ ℕ))
349	340, 348	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
350	349	phicld 16711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℕ)
351	350	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℝ)
352		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → 𝜑)
353	338	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
354	353	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
355	354	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
356	352, 355	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}))
357	356, 337	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∈ ℝ)
358		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
359	356, 358	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
360	340	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))
361	360	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))
362		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
363	361, 362	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
364		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
365		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘))
366	365	rabbidv 3408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
367	366	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅))
368	364, 367	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅) ↔ (𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)))
369	366	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
370		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (ϕ‘𝑚) = (ϕ‘𝑘))
371	369, 370	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (ϕ‘𝑚) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
372	368, 371	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (ϕ‘𝑚)) ↔ ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))))
373	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑚}) = (ϕ‘𝑚)))
374	372, 373, 349	rspcdva 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
375	374	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → ((𝑘 ∥ (♯‘𝐵) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘)))
376	363, 375	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))
377	359, 376	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (ϕ‘𝑘))
378	357, 377	eqled 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ (ϕ‘𝑘))
379		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅ → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅)
380	379	necon1bi 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅ → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = ∅)
381	380	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = ∅)
382	381	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘∅))
383	223	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘∅) = 0)
384	382, 383	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = 0)
385	346	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → 𝑘 ∈ ℕ)
386	385	phicld 16711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℕ)
387	386	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℕ0)
388	387	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → 0 ≤ (ϕ‘𝑘))
389	384, 388	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ (ϕ‘𝑘))
390	378, 389	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ (ϕ‘𝑘))
391	390	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ (ϕ‘𝑘)))
392	391	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → ((𝑘 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ (ϕ‘𝑘)))
393	340, 392	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ (ϕ‘𝑘))
394	332, 337, 351, 393	fsumle 15734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘))
395	327	sumeq1d 15635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘))
396	395	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘))
397	394, 396	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...((♯‘𝐵) − 1)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘))
398	328, 397	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘))
399	398	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ≤ Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘))
400	113, 121, 123, 140, 227, 399	ltleaddd 11770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) + Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})) < ((ϕ‘(♯‘𝐵)) + Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘)))
401		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(ϕ‘(♯‘𝐵))
402		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝜑)
403	127	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))
404	402, 403	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))))
405	131	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
406	405	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
407	406, 135	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) ∧ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
408	407	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑘 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑘 ∈ ℕ))
409	404, 408	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
410	409	phicld 16711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℕ)
411	410	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) ∧ 𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)}) → (ϕ‘𝑘) ∈ ℂ)
412		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (♯‘𝐵) → (ϕ‘𝑘) = (ϕ‘(♯‘𝐵)))
413	81, 401, 86, 411, 103, 412	fsumsplit1 15680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘) = ((ϕ‘(♯‘𝐵)) + Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(ϕ‘𝑘)))
414	400, 413	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)}) + Σ𝑘 ∈ ({𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ∖ {(♯‘𝐵)})(♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})) < Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘))
415	107, 414	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) < Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘))
416		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 𝑎 ∈ ℤ)
417		elfzle1 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → 1 ≤ 𝑎)
418	416, 417	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
419	418	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
420	419	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
421		elnnz1 12529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
422	420, 421	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑎 ∈ ℕ)
423	422	rabss3d 4035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
424		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝜑)
425		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑎 ∈ ℕ)
426	424, 425	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
427		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))
428	426, 427	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)))
429		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
430	280	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
431	430	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
432	425	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑎 ∈ ℕ)
433	432	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑎 ∈ ℤ)
434	432	nnge1d 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → 1 ≤ 𝑎)
435		nnz 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℤ)
436	435	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
437	23, 25, 26	hashfingrpnn 18914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
438	437	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
439		dvdsle 16249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑎 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑎 ≤ (♯‘𝐵)))
440	436, 438, 439	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑎 ≤ (♯‘𝐵)))
441	440	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑎 ≤ (♯‘𝐵))
442	429, 431, 433, 434, 441	elfzd 13443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
443	428, 442	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵))) → 𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
444	443	rabss3d 4035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
445	423, 444	eqssd 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} = {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
446	445	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} = {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)})
447	446	sumeq1d 15635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘))
448	415, 447	breqtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) < Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘))
449		phisum 16730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘) = (♯‘𝐵))
450	39, 449	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (ϕ‘𝑘) = (♯‘𝐵))
451	448, 450	breqtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → Σ𝑘 ∈ {𝑎 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ∣ 𝑎 ∥ (♯‘𝐵)} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) < (♯‘𝐵))
452	80, 451	eqbrtrd 5122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐵))
453	170	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
454	453	nn0red 12475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
455	454	ltnrd 11279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → ¬ (♯‘𝐵) < (♯‘𝐵))
456	452, 455	pm2.21dd 195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
457	456	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅ → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷)))
458	457	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} = ∅ → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷)))
459	36, 458	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐷} ≠ ∅) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
460	33, 459	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ♯chash 14265  Σcsu 15621   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433  ϕcphi 16703  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  odcod 19465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-phi 16705  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-eqg 19067  df-od 19469

This theorem is referenced by:  unitscyglem5  42566