Theorem cphassir 25142

Description: "Associative" law for the second argument of an inner product with scalar _𝑖. (Contributed by AV, 17-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphassi.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphassi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphassi.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphassi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphassi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphassir	⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 , 𝐵)))

Proof of Theorem cphassir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		simp1r 1199	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		cphassi.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6		cphassi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
7		cphassi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		cphassi.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9		cphassi.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	cphassr 25139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 , (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 , 𝐵)))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 , 𝐵)))
12		cji 15066	. . 3 ⊢ (∗‘i) = -i
13	12	oveq1i 7356	. 2 ⊢ ((∗‘i) · (𝐴 , 𝐵)) = (-i · (𝐴 , 𝐵))
14	11, 13	eqtrdi 2782	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 , 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ici 11008   · cmul 11011  -cneg 11345  ∗ccj 15003  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  ·_𝑖cip 17166  ℂPreHilccph 25093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-rhm 20390  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-cnfld 21292  df-phl 21563  df-nlm 24501  df-clm 24990  df-cph 25095

This theorem is referenced by:  cphipval2  25168