Theorem cply1coe0 22252

Description: All but the first coefficient of a constant polynomial ( i.e. a "lifted scalar") are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1coe0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
cply1coe0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
cply1coe0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1coe0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
cply1coe0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cply1coe0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cply1coe0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		cply1coe0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		cply1coe0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		cply1coe0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1scl 22237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝐴‘𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
7		nnne0 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8	7	neneqd 2936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑛 = 0)
11		eqeq1 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
12	11	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
14	10, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑘 = 0)
15	14	iffalsed 4516	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 ) = 0 )
16		nnnn0 12515	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18	4	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ V)
20	6, 15, 17, 19	fvmptd 7002	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )
21	20	ralrimiva 3133	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3463  ifcif 4505   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6540  0cc0 11136  ℕcn 12247  ℕ₀cn0 12508  Basecbs 17228  0_gc0g 17454  Ringcrg 20197  algSccascl 21825  Poly₁cpl1 22125  coe₁cco1 22126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9383  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-seq 14024  df-hash 14351  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-ip 17290  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-hom 17296  df-cco 17297  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-mhm 18764  df-submnd 18765  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-sbg 18924  df-mulg 19054  df-subg 19109  df-ghm 19199  df-cntz 19303  df-cmn 19767  df-abl 19768  df-mgp 20105  df-rng 20117  df-ur 20146  df-ring 20199  df-subrng 20513  df-subrg 20537  df-lmod 20827  df-lss 20897  df-ascl 21828  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-psr1 22128  df-vr1 22129  df-ply1 22130  df-coe1 22131

This theorem is referenced by:  cply1coe0bi  22253  1elcpmat  22668