Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cply1coe0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cply1coe0 20931
 Description: All but the first coefficient of a constant polynomial ( i.e. a "lifted scalar") are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
cply1coe0.0 0 = (0g𝑅)
cply1coe0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1coe0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
cply1coe0.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
cply1coe0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴𝑆))‘𝑛) = 0 )
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1coe0.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 cply1coe0.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3 cply1coe0.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 cply1coe0.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4coe1scl 20919 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
65adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝐴𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
7 nnne0 11663 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
87neneqd 2995 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
98adantl 485 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
109adantr 484 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑛 = 0)
11 eqeq1 2805 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
1211notbid 321 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
1312adantl 485 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
1410, 13mpbird 260 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑘 = 0)
1514iffalsed 4439 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 ) = 0 )
16 nnnn0 11896 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1716adantl 485 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
184fvexi 6663 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ V)
206, 15, 17, 19fvmptd 6756 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝐴𝑆))‘𝑛) = 0 )
2120ralrimiva 3152 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴𝑆))‘𝑛) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444  ifcif 4428   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  0cc0 10530  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Ringcrg 19293  algSccascl 20544  Poly1cpl1 20809  coe1cco1 20810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-ascl 20547  df-psr 20597  df-mvr 20598  df-mpl 20599  df-opsr 20601  df-psr1 20812  df-vr1 20813  df-ply1 20814  df-coe1 20815 This theorem is referenced by:  cply1coe0bi  20932  1elcpmat  21323
 Copyright terms: Public domain W3C validator