Theorem cply1coe0 21568

Description: All but the first coefficient of a constant polynomial ( i.e. a "lifted scalar") are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1coe0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
cply1coe0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
cply1coe0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1coe0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
cply1coe0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cply1coe0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cply1coe0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		cply1coe0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		cply1coe0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		cply1coe0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1scl 21556	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝐴‘𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
7		nnne0 12100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8	7	neneqd 2945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
9	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑛 = 0)
11		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
12	11	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
14	10, 13	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑘 = 0)
15	14	iffalsed 4483	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 ) = 0 )
16		nnnn0 12333	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18	4	fvexi 6833	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ V)
20	6, 15, 17, 19	fvmptd 6932	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )
21	20	ralrimiva 3139	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  Vcvv 3441  ifcif 4472   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6473  0cc0 10964  ℕcn 12066  ℕ₀cn0 12326  Basecbs 17001  0_gc0g 17239  Ringcrg 19870  algSccascl 21157  Poly₁cpl1 21446  coe₁cco1 21447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-tset 17070  df-ple 17071  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-ascl 21160  df-psr 21210  df-mvr 21211  df-mpl 21212  df-opsr 21214  df-psr1 21449  df-vr1 21450  df-ply1 21451  df-coe1 21452

This theorem is referenced by:  cply1coe0bi  21569  1elcpmat  21962