Theorem cply1coe0 22529

Description: All but the first coefficient of a constant polynomial ( i.e. a "lifted scalar") are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1coe0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
cply1coe0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
cply1coe0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1coe0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
cply1coe0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cply1coe0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cply1coe0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		cply1coe0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		cply1coe0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		cply1coe0.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1scl 22516	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝐴‘𝑆)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 )))
7		nnne0 12297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8	7	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 𝑛 = 0)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑛 = 0)
11		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
12	11	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (¬ 𝑘 = 0 ↔ ¬ 𝑛 = 0))
14	10, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ¬ 𝑘 = 0)
15	14	iffalsed 4493	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 0, 𝑆, 0 ) = 0 )
16		nnnn0 12538	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18	4	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ V)
20	6, 15, 17, 19	fvmptd 6995	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )
21	20	ralrimiva 3154	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝐴‘𝑆))‘𝑛) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  0cc0 11127  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  Ringcrg 20375  algSccascl 22070  Poly₁cpl1 22405  coe₁cco1 22406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-ascl 22073  df-psr 22127  df-mvr 22128  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-vr1 22409  df-ply1 22410  df-coe1 22411

This theorem is used by:  cply1coe0bi  22530  1elcpmat  22943