Theorem pmatcollpw2 22785

Description: Write a polynomial matrix as a sum of matrices whose entries are products of variable powers and constant polynomials collecting like powers. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   × ,𝑛   ↑ ,𝑛   𝑃,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   × ,𝑖,𝑗   ↑ ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmatcollpw1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pmatcollpw1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pmatcollpw1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pmatcollpw1.m	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		pmatcollpw1.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6		pmatcollpw1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pmatcollpw1 22783	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
9		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
10		nn0ex 12534	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
12	1	ply1ring 22250	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13	12	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
16	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ Ring)
17		simp1l2 1267	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
21		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
22		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	24, 26, 27	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
29	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
30	1, 2, 3, 18, 20	decpmatcl 22774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑛) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑀 decompPMat 𝑛) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
32	18, 19, 20, 21, 22, 31	matecld 22433	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
33		simp1r 1198	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
35	19, 1, 6, 4, 34, 5, 14	ply1tmcl 22276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
36	17, 32, 33, 35	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
37	2, 14, 3, 15, 16, 36	matbas2d 22430	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 3, 4, 5, 6	pmatcollpw2lem 22784	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋)))) finSupp (0g‘𝐶))
39	2, 3, 8, 9, 11, 13, 37, 38	matgsum 22444	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))
40	7, 39	eqtr4d 2779	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  Fincfn 8986  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  ._gcmg 19086  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  var₁cv1 22178  Poly₁cpl1 22179   Mat cmat 22412   decompPMat cdecpmat 22769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mat 22413  df-decpmat 22770

This theorem is referenced by:  pmatcollpw  22788