MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw2 20862
Description: Write a polynomial matrix as a sum of matrices whose entries are products of variable powers and constant polynomials collecting like powers. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcollpw1.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw1.m × = ( ·𝑠𝑃)
pmatcollpw1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw1.x 𝑋 = (var1𝑅)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   × ,𝑛   ,𝑛   𝑃,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   × ,𝑖,𝑗   ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw2
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw1.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pmatcollpw1.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pmatcollpw1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pmatcollpw1.m . . 3 × = ( ·𝑠𝑃)
5 pmatcollpw1.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6 pmatcollpw1.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1 20860 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋))))))
8 eqid 2765 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
9 simp1 1166 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
10 nn0ex 11545 . . . 4 0 ∈ V
1110a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ℕ0 ∈ V)
121ply1ring 19891 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13123ad2ant2 1164 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
14 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
159adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
1613adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ Ring)
17 simp1l2 1366 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
19 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
21 simp2 1167 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
22 simp3 1168 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
23 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25 simp3 1168 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀𝐵)
27 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2824, 26, 273jca 1158 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑛 ∈ ℕ0))
29283ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑛 ∈ ℕ0))
301, 2, 3, 18, 20decpmatcl 20851 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑛) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑀 decompPMat 𝑛) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
3218, 19, 20, 21, 22, 31matecld 20508 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
33 simp1r 1255 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34 eqid 2765 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3519, 1, 6, 4, 34, 5, 14ply1tmcl 19915 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
3617, 32, 33, 35syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
372, 14, 3, 15, 16, 36matbas2d 20505 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋))) ∈ 𝐵)
381, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw2lem 20861 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋)))) finSupp (0g𝐶))
392, 3, 8, 9, 11, 13, 37, 38matgsum 20519 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋))))))
407, 39eqtr4d 2802 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  Fincfn 8160  0cn0 11538  Basecbs 16130   ·𝑠 cvsca 16218  0gc0g 16366   Σg cgsu 16367  .gcmg 17807  mulGrpcmgp 18756  Ringcrg 18814  var1cv1 19819  Poly1cpl1 19820   Mat cmat 20489   decompPMat cdecpmat 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-prds 16374  df-pws 16376  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mat 20490  df-decpmat 20847
This theorem is referenced by:  pmatcollpw  20865
  Copyright terms: Public domain W3C validator