Theorem pmatcollpw2 22209

Description: Write a polynomial matrix as a sum of matrices whose entries are products of variable powers and constant polynomials collecting like powers. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   × ,𝑛   ↑ ,𝑛   𝑃,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   × ,𝑖,𝑗   ↑ ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmatcollpw1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pmatcollpw1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pmatcollpw1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pmatcollpw1.m	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		pmatcollpw1.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6		pmatcollpw1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pmatcollpw1 22207	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
9		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
10		nn0ex 12460	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
12	1	ply1ring 21701	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13	12	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
16	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ Ring)
17		simp1l2 1267	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
19		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
21		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
22		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
27		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	24, 26, 27	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
29	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
30	1, 2, 3, 18, 20	decpmatcl 22198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑛) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑀 decompPMat 𝑛) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
32	18, 19, 20, 21, 22, 31	matecld 21857	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
33		simp1r 1198	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
35	19, 1, 6, 4, 34, 5, 14	ply1tmcl 21725	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
36	17, 32, 33, 35	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
37	2, 14, 3, 15, 16, 36	matbas2d 21854	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐵)
38	1, 2, 3, 4, 5, 6	pmatcollpw2lem 22208	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋)))) finSupp (0g‘𝐶))
39	2, 3, 8, 9, 11, 13, 37, 38	matgsum 21868	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))
40	7, 39	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) × (𝑛 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ∈ cmpo 7395  Fincfn 8922  ℕ₀cn0 12454  Basecbs 17126   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17367   Σ_g cgsu 17368  ._gcmg 18922  mulGrpcmgp 19946  Ringcrg 20014  var₁cv1 21629  Poly₁cpl1 21630   Mat cmat 21836   decompPMat cdecpmat 22193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-srg 19968  df-ring 20016  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-psr 21393  df-mvr 21394  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-psr1 21633  df-vr1 21634  df-ply1 21635  df-coe1 21636  df-mat 21837  df-decpmat 22194

This theorem is referenced by:  pmatcollpw  22212