MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw2 22501
Description: Write a polynomial matrix as a sum of matrices whose entries are products of variable powers and constant polynomials collecting like powers. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw1.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw1.m ร— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
pmatcollpw1.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw1.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   ร— ,๐‘›   โ†‘ ,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘›   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—   ร— ,๐‘–,๐‘—   โ†‘ ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘–,๐‘—,๐‘›)

Proof of Theorem pmatcollpw2
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw1.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pmatcollpw1.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pmatcollpw1.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pmatcollpw1.m . . 3 ร— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
5 pmatcollpw1.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
6 pmatcollpw1.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1 22499 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
8 eqid 2731 . . 3 (0gโ€˜๐ถ) = (0gโ€˜๐ถ)
9 simp1 1135 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
10 nn0ex 12483 . . . 4 โ„•0 โˆˆ V
1110a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
121ply1ring 21991 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
13123ad2ant2 1133 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
14 eqid 2731 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
159adantr 480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1613adantr 480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
17 simp1l2 1266 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
18 eqid 2731 . . . . . 6 (๐‘ Mat ๐‘…) = (๐‘ Mat ๐‘…)
19 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
20 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
21 simp2 1136 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
22 simp3 1137 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
23 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
25 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2824, 26, 273jca 1127 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0))
29283ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0))
301, 2, 3, 18, 20decpmatcl 22490 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘€ decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
3218, 19, 20, 21, 22, 31matecld 22149 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
33 simp1r 1197 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
34 eqid 2731 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
3519, 1, 6, 4, 34, 5, 14ply1tmcl 22015 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3617, 32, 33, 35syl3anc 1370 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
372, 14, 3, 15, 16, 36matbas2d 22146 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))) โˆˆ ๐ต)
381, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw2lem 22500 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))) finSupp (0gโ€˜๐ถ))
392, 3, 8, 9, 11, 13, 37, 38matgsum 22160 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
407, 39eqtr4d 2774 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โˆˆ cmpo 7414  Fincfn 8943  โ„•0cn0 12477  Basecbs 17149   ยท๐‘  cvsca 17206  0gc0g 17390   ฮฃg cgsu 17391  .gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  var1cv1 21920  Poly1cpl1 21921   Mat cmat 22128   decompPMat cdecpmat 22485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-mat 22129  df-decpmat 22486
This theorem is referenced by:  pmatcollpw  22504
  Copyright terms: Public domain W3C validator