Theorem pm2mpghmlem1 22284

Description: Lemma 1 for pm2mpghm . (Contributed by AV, 15-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghmlem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem pm2mpghmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matring 21914	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3	2	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
4	3	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Ring)
5		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		pm2mpfo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		pm2mpfo.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
10		pm2mpfo.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
12	8, 9, 10, 1, 11	decpmatcl 22238	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
13	5, 6, 7, 12	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
14		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
15		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
16		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
18		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
20	11, 14, 15, 16, 17, 18, 19	ply1tmcl 21765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
21	4, 13, 7, 20	syl3anc 1372	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℕ₀cn0 12459  Basecbs 17131   ·_𝑠 cvsca 17188  ._gcmg 18935  mulGrpcmgp 19970  Ringcrg 20038  var₁cv1 21669  Poly₁cpl1 21670   Mat cmat 21876   decompPMat cdecpmat 22233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-ofr 7658  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-sup 9424  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-hash 14278  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-hom 17208  df-cco 17209  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-prds 17380  df-pws 17382  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-subrg 20338  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-dsmm 21260  df-frlm 21275  df-psr 21433  df-mvr 21434  df-mpl 21435  df-opsr 21437  df-psr1 21673  df-vr1 21674  df-ply1 21675  df-coe1 21676  df-mamu 21855  df-mat 21877  df-decpmat 22234

This theorem is referenced by:  pm2mpghm  22287  pm2mpmhmlem2  22290