MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpghmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpghmlem1 22284
Description: Lemma 1 for pm2mpghm . (Contributed by AV, 15-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpfo.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpfo.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpfo.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pm2mpghmlem1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) (𝐾 𝑋)) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem pm2mpghmlem1
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matring 21914 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
323adant3 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
43adantr 482 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Ring)
5 simpl2 1193 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
6 simpl3 1194 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝐵)
7 simpr 486 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 pm2mpfo.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 pm2mpfo.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
10 pm2mpfo.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
11 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
128, 9, 10, 1, 11decpmatcl 22238 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
135, 6, 7, 12syl3anc 1372 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
14 pm2mpfo.q . . 3 𝑄 = (Poly1𝐴)
15 pm2mpfo.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
16 pm2mpfo.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
17 eqid 2733 . . 3 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
18 pm2mpfo.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19 pm2mpfo.l . . 3 𝐿 = (Base‘𝑄)
2011, 14, 15, 16, 17, 18, 19ply1tmcl 21765 . 2 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) (𝐾 𝑋)) ∈ 𝐿)
214, 13, 7, 20syl3anc 1372 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) (𝐾 𝑋)) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6535  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  0cn0 12459  Basecbs 17131   ·𝑠 cvsca 17188  .gcmg 18935  mulGrpcmgp 19970  Ringcrg 20038  var1cv1 21669  Poly1cpl1 21670   Mat cmat 21876   decompPMat cdecpmat 22233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-ofr 7658  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-sup 9424  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-hash 14278  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-hom 17208  df-cco 17209  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-prds 17380  df-pws 17382  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-subrg 20338  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-dsmm 21260  df-frlm 21275  df-psr 21433  df-mvr 21434  df-mpl 21435  df-opsr 21437  df-psr1 21673  df-vr1 21674  df-ply1 21675  df-coe1 21676  df-mamu 21855  df-mat 21877  df-decpmat 22234
This theorem is referenced by:  pm2mpghm  22287  pm2mpmhmlem2  22290
  Copyright terms: Public domain W3C validator