Theorem pm2mpghmlem1 22314

Description: Lemma 1 for pm2mpghm . (Contributed by AV, 15-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghmlem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem pm2mpghmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matring 21944	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
4	3	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Ring)
5		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		pm2mpfo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		pm2mpfo.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
10		pm2mpfo.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
12	8, 9, 10, 1, 11	decpmatcl 22268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
13	5, 6, 7, 12	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
14		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
15		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
16		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
17		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
18		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
20	11, 14, 15, 16, 17, 18, 19	ply1tmcl 21793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
21	4, 13, 7, 20	syl3anc 1371	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143   ·_𝑠 cvsca 17200  ._gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  var₁cv1 21699  Poly₁cpl1 21700   Mat cmat 21906   decompPMat cdecpmat 22263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-decpmat 22264

This theorem is referenced by:  pm2mpghm  22317  pm2mpmhmlem2  22320