MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqcoe1ply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqcoe1ply1eq 21684
Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eqcoe1ply1eq.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
eqcoe1ply1eq.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
eqcoe1ply1eq.a ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
eqcoe1ply1eq.c ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
Assertion
Ref Expression
eqcoe1ply1eq ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†’ ๐พ = ๐ฟ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘ƒ(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐พ(๐‘˜)   ๐ฟ(๐‘˜)

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ€˜๐‘›))
2 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘›))
31, 2eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†” (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›)))
43rspccv 3577 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›)))
54adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›)))
65imp 408 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›))
7 eqcoe1ply1eq.a . . . . . . . 8 ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
87fveq1i 6844 . . . . . . 7 (๐ดโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)
9 eqcoe1ply1eq.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
109fveq1i 6844 . . . . . . 7 (๐ถโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)
116, 8, 103eqtr3g 2796 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›))
1211oveq1d 7373 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))) = (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))
1312mpteq2dva 5206 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))
1413oveq2d 7374 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
15 eqcoe1ply1eq.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
17 eqcoe1ply1eq.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
18 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1โ€˜๐พ) = (coe1โ€˜๐พ)
2215, 16, 17, 18, 19, 20, 21ply1coe 21683 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐พ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
23223adant3 1133 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐พ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1โ€˜๐ฟ) = (coe1โ€˜๐ฟ)
2515, 16, 17, 18, 19, 20, 24ply1coe 21683 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
26253adant2 1132 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
2723, 26eqeq12d 2749 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐พ = ๐ฟ โ†” (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
2827adantr 482 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐พ = ๐ฟ โ†” (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
2914, 28mpbird 257 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐พ = ๐ฟ)
3029ex 414 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†’ ๐พ = ๐ฟ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088   ยท๐‘  cvsca 17142   ฮฃg cgsu 17327  .gcmg 18877  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-srg 19923  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570
This theorem is referenced by:  ply1coe1eq  21685  cply1coe0bi  21687  mp2pm2mp  22176
  Copyright terms: Public domain W3C validator