MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqcoe1ply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqcoe1ply1eq 22192
Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eqcoe1ply1eq.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
eqcoe1ply1eq.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
eqcoe1ply1eq.a ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
eqcoe1ply1eq.c ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
Assertion
Ref Expression
eqcoe1ply1eq ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†’ ๐พ = ๐ฟ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘ƒ(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐พ(๐‘˜)   ๐ฟ(๐‘˜)

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ€˜๐‘›))
2 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘›))
31, 2eqeq12d 2743 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†” (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›)))
43rspccv 3604 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›)))
54adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›)))
65imp 406 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (๐ถโ€˜๐‘›))
7 eqcoe1ply1eq.a . . . . . . . 8 ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
87fveq1i 6892 . . . . . . 7 (๐ดโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)
9 eqcoe1ply1eq.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
109fveq1i 6892 . . . . . . 7 (๐ถโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)
116, 8, 103eqtr3g 2790 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›))
1211oveq1d 7429 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))) = (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))
1312mpteq2dva 5242 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))
1413oveq2d 7430 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
15 eqcoe1ply1eq.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
16 eqid 2727 . . . . . . 7 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
17 eqcoe1ply1eq.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
18 eqid 2727 . . . . . . 7 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
19 eqid 2727 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
20 eqid 2727 . . . . . . 7 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
21 eqid 2727 . . . . . . 7 (coe1โ€˜๐พ) = (coe1โ€˜๐พ)
2215, 16, 17, 18, 19, 20, 21ply1coe 22191 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐พ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
23223adant3 1130 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐พ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
24 eqid 2727 . . . . . . 7 (coe1โ€˜๐ฟ) = (coe1โ€˜๐ฟ)
2515, 16, 17, 18, 19, 20, 24ply1coe 22191 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
26253adant2 1129 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
2723, 26eqeq12d 2743 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐พ = ๐ฟ โ†” (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
2827adantr 480 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐พ = ๐ฟ โ†” (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐พ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ฟ)โ€˜๐‘›)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
2914, 28mpbird 257 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜)) โ†’ ๐พ = ๐ฟ)
3029ex 412 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘˜) โ†’ ๐พ = ๐ฟ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„•0cn0 12488  Basecbs 17165   ยท๐‘  cvsca 17222   ฮฃg cgsu 17407  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070  coe1cco1 22071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076
This theorem is referenced by:  ply1coe1eq  22193  cply1coe0bi  22195  mp2pm2mp  22687
  Copyright terms: Public domain W3C validator