Theorem eqcoe1ply1eq 22222

Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
eqcoe1ply1eq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
eqcoe1ply1eq.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
eqcoe1ply1eq.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
2		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑛))
3	1, 2	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) ↔ (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
4	3	rspccv 3600	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
5	4	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
6	5	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
7		eqcoe1ply1eq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
8	7	fveq1i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛)
9		eqcoe1ply1eq.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
10	9	fveq1i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛)
11	6, 8, 10	3eqtr3g 2788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛))
12	11	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
13	12	mpteq2dva 5244	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
14	13	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
15		eqcoe1ply1eq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
17		eqcoe1ply1eq.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
20		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
21		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ply1coe 22221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
23	22	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
24		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐿) = (coe1‘𝐿)
25	15, 16, 17, 18, 19, 20, 24	ply1coe 22221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
26	25	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
27	23, 26	eqeq12d 2741	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
28	27	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
29	14, 28	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → 𝐾 = 𝐿)
30	29	ex 411	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12497  Basecbs 17174   ·_𝑠 cvsca 17231   Σ_g cgsu 17416  ._gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  var₁cv1 22098  Poly₁cpl1 22099  coe₁cco1 22100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105

This theorem is referenced by:  ply1coe1eq  22223  cply1coe0bi  22225  mp2pm2mp  22726