Theorem eqcoe1ply1eq 22319

Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
eqcoe1ply1eq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
eqcoe1ply1eq.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
eqcoe1ply1eq.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
2		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑛))
3	1, 2	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) ↔ (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
4	3	rspccv 3619	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
7		eqcoe1ply1eq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
8	7	fveq1i 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛)
9		eqcoe1ply1eq.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
10	9	fveq1i 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛)
11	6, 8, 10	3eqtr3g 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛))
12	11	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
13	12	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
14	13	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
15		eqcoe1ply1eq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
17		eqcoe1ply1eq.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ply1coe 22318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
23	22	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐿) = (coe1‘𝐿)
25	15, 16, 17, 18, 19, 20, 24	ply1coe 22318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
26	25	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
27	23, 26	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
29	14, 28	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → 𝐾 = 𝐿)
30	29	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ·_𝑠 cvsca 17302   Σ_g cgsu 17487  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194  coe₁cco1 22195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200

This theorem is referenced by:  ply1coe1eq  22320  cply1coe0bi  22322  mp2pm2mp  22833