Theorem eqcoe1ply1eq 22139

Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
eqcoe1ply1eq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
eqcoe1ply1eq.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
eqcoe1ply1eq.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
2		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑛))
3	1, 2	eqeq12d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) ↔ (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
4	3	rspccv 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
7		eqcoe1ply1eq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
8	7	fveq1i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛)
9		eqcoe1ply1eq.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
10	9	fveq1i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛)
11	6, 8, 10	3eqtr3g 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛))
12	11	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
13	12	mpteq2dva 5238	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
14	13	oveq2d 7417	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
15		eqcoe1ply1eq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
17		eqcoe1ply1eq.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
20		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
21		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ply1coe 22138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
23	22	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
24		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐿) = (coe1‘𝐿)
25	15, 16, 17, 18, 19, 20, 24	ply1coe 22138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
26	25	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
27	23, 26	eqeq12d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
29	14, 28	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → 𝐾 = 𝐿)
30	29	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17142   ·_𝑠 cvsca 17199   Σ_g cgsu 17384  ._gcmg 18984  mulGrpcmgp 20028  Ringcrg 20127  var₁cv1 22017  Poly₁cpl1 22018  coe₁cco1 22019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-psr 21770  df-mvr 21771  df-mpl 21772  df-opsr 21774  df-psr1 22021  df-vr1 22022  df-ply1 22023  df-coe1 22024

This theorem is referenced by:  ply1coe1eq  22140  cply1coe0bi  22142  mp2pm2mp  22634