Theorem eqcoe1ply1eq 22470

Description: Two polynomials over the same ring are equal if they have identical coefficients. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
eqcoe1ply1eq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
eqcoe1ply1eq.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
eqcoe1ply1eq.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
eqcoe1ply1eq	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘)   𝐿(𝑘)

Proof of Theorem eqcoe1ply1eq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
2		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑛))
3	1, 2	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) ↔ (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
4	3	rspccv 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
5	4	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)))
6	5	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
7		eqcoe1ply1eq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
8	7	fveq1i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛)
9		eqcoe1ply1eq.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
10	9	fveq1i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛)
11	6, 8, 10	3eqtr3g 2820	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐿)‘𝑛))
12	11	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
13	12	mpteq2dva 5203	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
14	13	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
15		eqcoe1ply1eq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
17		eqcoe1ply1eq.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
20		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ply1coe 22469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
23	22	3adant3 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
24		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐿) = (coe1‘𝐿)
25	15, 16, 17, 18, 19, 20, 24	ply1coe 22469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
26	25	3adant2 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
27	23, 26	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
28	27	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → (𝐾 = 𝐿 ↔ (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐿)‘𝑛)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
29	14, 28	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘)) → 𝐾 = 𝐿)
30	29	ex 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑘) = (𝐶‘𝑘) → 𝐾 = 𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275   ·_𝑠 cvsca 17320   Σ_g cgsu 17499  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  Ringcrg 20321  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348  coe₁cco1 22349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354

This theorem is used by:  ply1coe1eq  22471  cply1coe0bi  22473  mp2pm2mp  22979