MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmatcl 21749
Description: Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chmatcl.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chmatcl.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s = (-g𝑌)
chmatcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chmatcl.1 1 = (1r𝑌)
chmatcl.h 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
Assertion
Ref Expression
chmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Proof of Theorem chmatcl
StepHypRef Expression
1 chmatcl.h . 2 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
2 chmatcl.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 chmatcl.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
42, 3pmatring 21613 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 19591 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Grp)
763adant3 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
82ply1ring 21193 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
98anim2i 620 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
1093adant3 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chmatcl.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
12 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1311, 2, 12vr1cl 21162 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14133ad2ant2 1136 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1543adant3 1134 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17 chmatcl.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑌)
1816, 17ringidcl 19610 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20 chmatcl.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
2112, 3, 16, 20matvscl 21352 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
2210, 14, 19, 21syl12anc 837 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23 chmatcl.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
24 chmatcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
25 chmatcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
2623, 24, 25, 2, 3mat2pmatbas 21647 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
27 chmatcl.s . . . 4 = (-g𝑌)
2816, 27grpsubcl 18467 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
297, 22, 26, 28syl3anc 1373 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
301, 29eqeltrid 2843 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  cfv 6397  (class class class)co 7231  Fincfn 8646  Basecbs 16784   ·𝑠 cvsca 16830  Grpcgrp 18389  -gcsg 18391  1rcur 19540  Ringcrg 19586  var1cv1 21121  Poly1cpl1 21122   Mat cmat 21328   matToPolyMat cmat2pmat 21625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-se 5524  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-isom 6406  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-of 7487  df-ofr 7488  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-supp 7924  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-er 8411  df-map 8530  df-pm 8531  df-ixp 8599  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-fsupp 9010  df-sup 9082  df-oi 9150  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-4 11919  df-5 11920  df-6 11921  df-7 11922  df-8 11923  df-9 11924  df-n0 12115  df-z 12201  df-dec 12318  df-uz 12463  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-seq 13599  df-hash 13921  df-struct 16724  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-ress 16809  df-plusg 16839  df-mulr 16840  df-sca 16842  df-vsca 16843  df-ip 16844  df-tset 16845  df-ple 16846  df-ds 16848  df-hom 16850  df-cco 16851  df-0g 16970  df-gsum 16971  df-prds 16976  df-pws 16978  df-mre 17113  df-mrc 17114  df-acs 17116  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-mhm 18242  df-submnd 18243  df-grp 18392  df-minusg 18393  df-sbg 18394  df-mulg 18513  df-subg 18564  df-ghm 18644  df-cntz 18735  df-cmn 19196  df-abl 19197  df-mgp 19529  df-ur 19541  df-ring 19588  df-subrg 19822  df-lmod 19925  df-lss 19993  df-sra 20233  df-rgmod 20234  df-dsmm 20718  df-frlm 20733  df-ascl 20841  df-psr 20892  df-mvr 20893  df-mpl 20894  df-opsr 20896  df-psr1 21125  df-vr1 21126  df-ply1 21127  df-mamu 21307  df-mat 21329  df-mat2pmat 21628
This theorem is referenced by:  chpmatply1  21753  chpmatval2  21754  cpmadurid  21788  cpmadugsumfi  21798
  Copyright terms: Public domain W3C validator