Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmatcl 21411
 Description: Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chmatcl.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chmatcl.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s = (-g𝑌)
chmatcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chmatcl.1 1 = (1r𝑌)
chmatcl.h 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
Assertion
Ref Expression
chmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Proof of Theorem chmatcl
StepHypRef Expression
1 chmatcl.h . 2 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
2 chmatcl.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 chmatcl.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
42, 3pmatring 21276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 19280 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Grp)
763adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
82ply1ring 20391 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
98anim2i 619 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
1093adant3 1129 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chmatcl.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
12 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1311, 2, 12vr1cl 20360 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14133ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1543adant3 1129 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17 chmatcl.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑌)
1816, 17ringidcl 19296 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20 chmatcl.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
2112, 3, 16, 20matvscl 21015 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
2210, 14, 19, 21syl12anc 835 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23 chmatcl.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
24 chmatcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
25 chmatcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
2623, 24, 25, 2, 3mat2pmatbas 21309 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
27 chmatcl.s . . . 4 = (-g𝑌)
2816, 27grpsubcl 18157 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
297, 22, 26, 28syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
301, 29eqeltrid 2916 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  Basecbs 16461   ·𝑠 cvsca 16547  Grpcgrp 18081  -gcsg 18083  1rcur 19229  Ringcrg 19275  var1cv1 20319  Poly1cpl1 20320   Mat cmat 20991   matToPolyMat cmat2pmat 21287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-subrg 19508  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-ascl 20062  df-psr 20111  df-mvr 20112  df-mpl 20113  df-opsr 20115  df-psr1 20323  df-vr1 20324  df-ply1 20325  df-dsmm 20851  df-frlm 20866  df-mamu 20970  df-mat 20992  df-mat2pmat 21290 This theorem is referenced by:  chpmatply1  21415  chpmatval2  21416  cpmadurid  21450  cpmadugsumfi  21460
 Copyright terms: Public domain W3C validator