![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > chmatcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
chmatcl.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
chmatcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
chmatcl.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
chmatcl.y | โข ๐ = (๐ Mat ๐) |
chmatcl.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
chmatcl.t | โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) |
chmatcl.s | โข โ = (-gโ๐) |
chmatcl.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
chmatcl.1 | โข 1 = (1rโ๐) |
chmatcl.h | โข ๐ป = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
chmatcl | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ป โ (Baseโ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | chmatcl.h | . 2 โข ๐ป = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) | |
2 | chmatcl.p | . . . . . 6 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
3 | chmatcl.y | . . . . . 6 โข ๐ = (๐ Mat ๐) | |
4 | 2, 3 | pmatring 22544 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ๐ โ Ring) |
5 | ringgrp 20140 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
6 | 4, 5 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ๐ โ Grp) |
7 | 6 | 3adant3 1129 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
8 | 2 | ply1ring 22116 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Ring) |
9 | 8 | anim2i 616 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Ring)) |
10 | 9 | 3adant3 1129 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Ring)) |
11 | chmatcl.x | . . . . . 6 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
12 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
13 | 11, 2, 12 | vr1cl 22086 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
14 | 13 | 3ad2ant2 1131 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
15 | 4 | 3adant3 1129 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Ring) |
16 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
17 | chmatcl.1 | . . . . . 6 โข 1 = (1rโ๐) | |
18 | 16, 17 | ringidcl 20162 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ 1 โ (Baseโ๐)) |
19 | 15, 18 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ 1 โ (Baseโ๐)) |
20 | chmatcl.m | . . . . 5 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
21 | 12, 3, 16, 20 | matvscl 22283 | . . . 4 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ (Baseโ๐) โง 1 โ (Baseโ๐))) โ (๐ ยท 1 ) โ (Baseโ๐)) |
22 | 10, 14, 19, 21 | syl12anc 834 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 1 ) โ (Baseโ๐)) |
23 | chmatcl.t | . . . 4 โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) | |
24 | chmatcl.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
25 | chmatcl.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
26 | 23, 24, 25, 2, 3 | mat2pmatbas 22578 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) |
27 | chmatcl.s | . . . 4 โข โ = (-gโ๐) | |
28 | 16, 27 | grpsubcl 18945 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 1 ) โ (Baseโ๐) โง (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) โ ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) |
29 | 7, 22, 26, 28 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) |
30 | 1, 29 | eqeltrid 2831 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ป โ (Baseโ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Fincfn 8938 Basecbs 17150 ยท๐ cvsca 17207 Grpcgrp 18860 -gcsg 18862 1rcur 20083 Ringcrg 20135 var1cv1 22045 Poly1cpl1 22046 Mat cmat 22257 matToPolyMat cmat2pmat 22556 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-of 7666 df-ofr 7667 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8144 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-hash 14293 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17151 df-ress 17180 df-plusg 17216 df-mulr 17217 df-sca 17219 df-vsca 17220 df-ip 17221 df-tset 17222 df-ple 17223 df-ds 17225 df-hom 17227 df-cco 17228 df-0g 17393 df-gsum 17394 df-prds 17399 df-pws 17401 df-mre 17536 df-mrc 17537 df-acs 17539 df-mgm 18570 df-sgrp 18649 df-mnd 18665 df-mhm 18710 df-submnd 18711 df-grp 18863 df-minusg 18864 df-sbg 18865 df-mulg 18993 df-subg 19047 df-ghm 19136 df-cntz 19230 df-cmn 19699 df-abl 19700 df-mgp 20037 df-rng 20055 df-ur 20084 df-ring 20137 df-subrng 20443 df-subrg 20468 df-lmod 20705 df-lss 20776 df-sra 21018 df-rgmod 21019 df-dsmm 21622 df-frlm 21637 df-ascl 21745 df-psr 21798 df-mvr 21799 df-mpl 21800 df-opsr 21802 df-psr1 22049 df-vr1 22050 df-ply1 22051 df-mamu 22236 df-mat 22258 df-mat2pmat 22559 |
This theorem is referenced by: chpmatply1 22684 chpmatval2 22685 cpmadurid 22719 cpmadugsumfi 22729 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |