MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmatcl 20911
Description: Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chmatcl.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chmatcl.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s = (-g𝑌)
chmatcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chmatcl.1 1 = (1r𝑌)
chmatcl.h 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
Assertion
Ref Expression
chmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Proof of Theorem chmatcl
StepHypRef Expression
1 chmatcl.h . 2 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
2 chmatcl.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 chmatcl.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
42, 3pmatring 20776 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 18818 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Grp)
763adant3 1162 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
82ply1ring 19890 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
98anim2i 610 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
1093adant3 1162 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chmatcl.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
12 eqid 2764 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1311, 2, 12vr1cl 19859 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14133ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1543adant3 1162 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16 eqid 2764 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17 chmatcl.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑌)
1816, 17ringidcl 18834 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20 chmatcl.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
2112, 3, 16, 20matvscl 20512 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
2210, 14, 19, 21syl12anc 865 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23 chmatcl.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
24 chmatcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
25 chmatcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
2623, 24, 25, 2, 3mat2pmatbas 20809 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
27 chmatcl.s . . . 4 = (-g𝑌)
2816, 27grpsubcl 17763 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
297, 22, 26, 28syl3anc 1490 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
301, 29syl5eqel 2847 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6067  (class class class)co 6841  Fincfn 8159  Basecbs 16131   ·𝑠 cvsca 16219  Grpcgrp 17690  -gcsg 17692  1rcur 18767  Ringcrg 18813  var1cv1 19818  Poly1cpl1 19819   Mat cmat 20488   matToPolyMat cmat2pmat 20787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-ot 4342  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-ofr 7095  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-oi 8621  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-prds 16375  df-pws 16377  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-mulg 17809  df-subg 17856  df-ghm 17923  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-subrg 19046  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-sra 19445  df-rgmod 19446  df-ascl 19587  df-psr 19629  df-mvr 19630  df-mpl 19631  df-opsr 19633  df-psr1 19822  df-vr1 19823  df-ply1 19824  df-dsmm 20351  df-frlm 20366  df-mamu 20465  df-mat 20489  df-mat2pmat 20790
This theorem is referenced by:  chpmatply1  20915  chpmatval2  20916  cpmadurid  20950  cpmadugsumfi  20960
  Copyright terms: Public domain W3C validator