Theorem chmatcl 22744

Description: Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chmatcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chmatcl.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chmatcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chmatcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chmatcl.h	⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
chmatcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Proof of Theorem chmatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chmatcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
2		chmatcl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chmatcl.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	2, 3	pmatring 22608	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 20157	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Grp)
7	6	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
8	2	ply1ring 22161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9	8	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
10	9	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chmatcl.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 2, 12	vr1cl 22131	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14	13	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	4	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		chmatcl.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18	16, 17	ringidcl 20184	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20		chmatcl.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
21	12, 3, 16, 20	matvscl 22347	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
22	10, 14, 19, 21	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23		chmatcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
24		chmatcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
25		chmatcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
26	23, 24, 25, 2, 3	mat2pmatbas 22642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
27		chmatcl.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
28	16, 27	grpsubcl 18933	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
29	7, 22, 26, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
30	1, 29	eqeltrid 2835	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17120   ·_𝑠 cvsca 17165  Grpcgrp 18846  -_gcsg 18848  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  var₁cv1 22089  Poly₁cpl1 22090   Mat cmat 22323   matToPolyMat cmat2pmat 22620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-mat2pmat 22623

This theorem is referenced by:  chpmatply1  22748  chpmatval2  22749  cpmadurid  22783  cpmadugsumfi  22793