Theorem chmatcl 21885

Description: Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chmatcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chmatcl.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chmatcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chmatcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chmatcl.h	⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
chmatcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Proof of Theorem chmatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chmatcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
2		chmatcl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chmatcl.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	2, 3	pmatring 21749	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 19703	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Grp)
7	6	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
8	2	ply1ring 21329	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9	8	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
10	9	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chmatcl.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 2, 12	vr1cl 21298	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14	13	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	4	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		chmatcl.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18	16, 17	ringidcl 19722	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20		chmatcl.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
21	12, 3, 16, 20	matvscl 21488	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
22	10, 14, 19, 21	syl12anc 833	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23		chmatcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
24		chmatcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
25		chmatcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
26	23, 24, 25, 2, 3	mat2pmatbas 21783	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
27		chmatcl.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑌)
28	16, 27	grpsubcl 18570	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
29	7, 22, 26, 28	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
30	1, 29	eqeltrid 2843	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840   ·_𝑠 cvsca 16892  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258   Mat cmat 21464   matToPolyMat cmat2pmat 21761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-mat2pmat 21764

This theorem is referenced by:  chpmatply1  21889  chpmatval2  21890  cpmadurid  21924  cpmadugsumfi  21934