Theorem linply1 49250

Description: A term of the form 𝑥 − 𝐶 is a (univariate) polynomial, also called "linear polynomial". (Part of ply1remlem 26378). (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
linply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
linply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
linply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
linply1.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
linply1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linply1.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
linply1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
linply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
linply1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linply1.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
2		linply1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		linply1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22462	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5		ringgrp 20369	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
6	2, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
7		linply1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		linply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 3, 8	vr1cl 22432	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		linply1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
12		linply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	3, 11, 12, 8	ply1sclf 22501	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
14	2, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
15		linply1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
16	14, 15	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)
17		linply1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	8, 17	grpsubcl 19135	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵)
19	6, 10, 16, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  Grpcgrp 19049  -_gcsg 19051  Ringcrg 20364  algSccascl 22057  var₁cv1 22391  Poly₁cpl1 22392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-sup 9410  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-hash 14390  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-prds 17527  df-pws 17529  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-ascl 22060  df-psr 22114  df-mvr 22115  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-psr1 22395  df-vr1 22396  df-ply1 22397

This theorem is used by: (None)