Theorem linply1 43200

Description: A term of the form 𝑥 − 𝐶 is a (univariate) polynomial, also called "linear polynomial". (Part of ply1remlem 24359). (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
linply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
linply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
linply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
linply1.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
linply1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linply1.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
linply1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
linply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
linply1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linply1.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
2		linply1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		linply1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 20014	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5		ringgrp 18939	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
6	2, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
7		linply1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		linply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 3, 8	vr1cl 19983	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		linply1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
12		linply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	3, 11, 12, 8	ply1sclf 20051	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
15		linply1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
16	14, 15	ffvelrnd 6624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)
17		linply1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	8, 17	grpsubcl 17882	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵)
19	6, 10, 16, 18	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵)
20	1, 19	syl5eqel 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Grpcgrp 17809  -_gcsg 17811  Ringcrg 18934  algSccascl 19708  var₁cv1 19942  Poly₁cpl1 19943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-ple 16358  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-psr1 19946  df-vr1 19947  df-ply1 19948

This theorem is referenced by: (None)