Theorem chpdmatlem1 21440

Description: Lemma 1 for chpdmat 21443. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem chpdmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		chpdmatlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 21295	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
4	3	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
5		ringgrp 19296	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Grp)
7		chpdmat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8		chpdmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		chpdmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
10		chpdmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		chpdmat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		chpdmat.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		chpdmat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
14		chpdmat.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		chpdmatlem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
16		chpdmatlem.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
17	7, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16	chpdmatlem0 21439	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 8, 10, 1, 2	mat2pmatbas 21328	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22		chpdmatlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
23	21, 22	grpsubcl 18173	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
24	6, 18, 20, 23	syl3anc 1367	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  Basecbs 16477   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097  -_gcsg 18099  mulGrpcmgp 19233  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  algSccascl 20078  var₁cv1 20338  Poly₁cpl1 20339   Mat cmat 21010   matToPolyMat cmat2pmat 21306   CharPlyMat cchpmat 21428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-ascl 20081  df-psr 20130  df-mvr 20131  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-vr1 20343  df-ply1 20344  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-mat2pmat 21309

This theorem is referenced by:  chpdmat  21443