Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem1 21551
 Description: Lemma 1 for chpdmat 21554. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpdmat.0 0 = (0g𝑅)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m = (-g𝑃)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1r𝑄)
chpdmatlem.m · = ( ·𝑠𝑄)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-g𝑄)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem chpdmatlem1
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 chpdmatlem.q . . . . 5 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
31, 2pmatring 21405 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
433adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
5 ringgrp 19383 . . 3 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑄 ∈ Grp)
7 chpdmat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8 chpdmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 chpdmat.s . . . 4 𝑆 = (algSc‘𝑃)
10 chpdmat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
11 chpdmat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
12 chpdmat.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
13 chpdmat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
14 chpdmat.m . . . 4 = (-g𝑃)
15 chpdmatlem.1 . . . 4 1 = (1r𝑄)
16 chpdmatlem.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝑄)
177, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16chpdmatlem0 21550 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18173adant3 1129 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19 chpdmatlem.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2019, 8, 10, 1, 2mat2pmatbas 21439 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21 eqid 2758 . . 3 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22 chpdmatlem.z . . 3 𝑍 = (-g𝑄)
2321, 22grpsubcl 18259 . 2 ((𝑄 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
246, 18, 20, 23syl3anc 1368 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  Basecbs 16554   ·𝑠 cvsca 16640  0gc0g 16784  Grpcgrp 18182  -gcsg 18184  mulGrpcmgp 19320  1rcur 19332  Ringcrg 19378  algSccascl 20630  var1cv1 20913  Poly1cpl1 20914   Mat cmat 21120   matToPolyMat cmat2pmat 21417   CharPlyMat cchpmat 21539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-dsmm 20510  df-frlm 20525  df-ascl 20633  df-psr 20684  df-mvr 20685  df-mpl 20686  df-opsr 20688  df-psr1 20917  df-vr1 20918  df-ply1 20919  df-mamu 21099  df-mat 21121  df-mat2pmat 21420 This theorem is referenced by:  chpdmat  21554
 Copyright terms: Public domain W3C validator