Theorem chpdmatlem1 22791

Description: Lemma 1 for chpdmat 22794. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem chpdmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		chpdmatlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 22645	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
5		ringgrp 20208	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Grp)
7		chpdmat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8		chpdmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		chpdmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
10		chpdmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		chpdmat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		chpdmat.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		chpdmat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
14		chpdmat.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		chpdmatlem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
16		chpdmatlem.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
17	7, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16	chpdmatlem0 22790	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 8, 10, 1, 2	mat2pmatbas 22679	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22		chpdmatlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
23	21, 22	grpsubcl 18985	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
24	6, 18, 20, 23	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Fincfn 8882  Basecbs 17168   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  -_gcsg 18900  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  algSccascl 21821  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129   Mat cmat 22360   matToPolyMat cmat2pmat 22657   CharPlyMat cchpmat 22779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-dsmm 21701  df-frlm 21716  df-ascl 21824  df-psr 21878  df-mvr 21879  df-mpl 21880  df-opsr 21882  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-mamu 22344  df-mat 22361  df-mat2pmat 22660

This theorem is referenced by:  chpdmat  22794