Theorem chpdmatlem1 21551

Description: Lemma 1 for chpdmat 21554. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem chpdmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		chpdmatlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 21405	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
4	3	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
5		ringgrp 19383	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Grp)
7		chpdmat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8		chpdmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		chpdmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
10		chpdmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		chpdmat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		chpdmat.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		chpdmat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
14		chpdmat.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		chpdmatlem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
16		chpdmatlem.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
17	7, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16	chpdmatlem0 21550	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 8, 10, 1, 2	mat2pmatbas 21439	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22		chpdmatlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
23	21, 22	grpsubcl 18259	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
24	6, 18, 20, 23	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  Basecbs 16554   ·_𝑠 cvsca 16640  0_gc0g 16784  Grpcgrp 18182  -_gcsg 18184  mulGrpcmgp 19320  1_rcur 19332  Ringcrg 19378  algSccascl 20630  var₁cv1 20913  Poly₁cpl1 20914   Mat cmat 21120   matToPolyMat cmat2pmat 21417   CharPlyMat cchpmat 21539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-dsmm 20510  df-frlm 20525  df-ascl 20633  df-psr 20684  df-mvr 20685  df-mpl 20686  df-opsr 20688  df-psr1 20917  df-vr1 20918  df-ply1 20919  df-mamu 21099  df-mat 21121  df-mat2pmat 21420

This theorem is referenced by:  chpdmat  21554