Theorem chpdmatlem1 22784

Description: Lemma 1 for chpdmat 22787. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem chpdmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		chpdmatlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 22638	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
5		ringgrp 20175	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Grp)
7		chpdmat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
8		chpdmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		chpdmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
10		chpdmat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		chpdmat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		chpdmat.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		chpdmat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
14		chpdmat.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		chpdmatlem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
16		chpdmatlem.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
17	7, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16	chpdmatlem0 22783	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 8, 10, 1, 2	mat2pmatbas 22672	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22		chpdmatlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
23	21, 22	grpsubcl 18952	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))
24	6, 18, 20, 23	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  Basecbs 17138   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  mulGrpcmgp 20077  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  algSccascl 21809  var₁cv1 22118  Poly₁cpl1 22119   Mat cmat 22353   matToPolyMat cmat2pmat 22650   CharPlyMat cchpmat 22772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-mamu 22337  df-mat 22354  df-mat2pmat 22653

This theorem is referenced by:  chpdmat  22787