MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnicciblnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnicciblnc 25113
Description: Choice-free proof of cniccibl 25111. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnicciblnc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem cnicciblnc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccmbl 24836 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol)
2 cnmbf 24929 . . 3 (((𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
31, 2stoic3 1777 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
4 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5 cncff 24162 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
6 fdm 6660 . . . . 5 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
87fveq2d 6829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (volβ€˜dom 𝐹) = (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
9 iccvolcl 24837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∈ ℝ)
1093adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrd 2837 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ)
12 cniccbdd 24731 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
137raleqdv 3309 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
1413rexbidv 3171 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
1512, 14mpbird 256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
16 bddiblnc 25112 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
173, 11, 15, 16syl3anc 1370 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  βŸΆwf 6475  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  β„‚cc 10970  β„cr 10971   ≀ cle 11111  [,]cicc 13183  abscabs 15044  β€“cnβ†’ccncf 24145  volcvol 24733  MblFncmbf 24884  πΏ1cibl 24887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-ofr 7596  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-omul 8372  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-acn 9799  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889  df-itg1 24890  df-itg2 24891  df-ibl 24892  df-0p 24940
This theorem is referenced by:  itgpowd  25320  areacirclem3  35980  3factsumint1  40291  3factsumint3  40293  lcmineqlem10  40308  lcmineqlem12  40310
  Copyright terms: Public domain W3C validator