MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnicciblnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnicciblnc 25722
Description: Choice-free proof of cniccibl 25720. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnicciblnc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem cnicciblnc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccmbl 25445 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol)
2 cnmbf 25538 . . 3 (((𝐴[,]𝐡) ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
31, 2stoic3 1770 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
4 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5 cncff 24763 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
6 fdm 6719 . . . . 5 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
87fveq2d 6888 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (volβ€˜dom 𝐹) = (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
9 iccvolcl 25446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∈ ℝ)
1093adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrd 2827 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ)
12 cniccbdd 25340 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
137raleqdv 3319 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
1413rexbidv 3172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
1512, 14mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
16 bddiblnc 25721 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
173, 11, 15, 16syl3anc 1368 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   ≀ cle 11250  [,]cicc 13330  abscabs 15184  β€“cnβ†’ccncf 24746  volcvol 25342  MblFncmbf 25493  πΏ1cibl 25496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499  df-itg2 25500  df-ibl 25501  df-0p 25549
This theorem is referenced by:  itgpowd  25935  areacirclem3  37090  3factsumint1  41401  3factsumint3  41403  lcmineqlem10  41418  lcmineqlem12  41420
  Copyright terms: Public domain W3C validator