Theorem mulcn 24805

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by NM, 30-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.) Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-mulf 11207. Use mpomulcn 24807 instead. (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
mulcn	⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Proof of Theorem mulcn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		ax-mulf 11207	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		mulcn2 15610	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎))
4	1, 2, 3	addcnlem 24802	1 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   · cmul 11132  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21313   Cn ccn 23160   ×_t ctx 23496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-xms 24257  df-tms 24259

This theorem is referenced by:  divcnOLD  24806  expcnOLD  24814  divccnOLD  24815  negcncfOLD  24865  iihalf1cnOLD  24876  iihalf2cnOLD  24879  iimulcnOLD  24884  icchmeoOLD  24888  cnrehmeoOLD  24901  reparphtiOLD  24946  mulcncfOLD  25397  dvcnp2OLD  25872  dvmulbrOLD  25892  dvcobrOLD  25900  cmvthOLD  25946  dvfsumleOLD  25977  dvfsumlem2OLD  25984  plycnOLD  26217  taylthlem2OLD  26333  psercn2OLD  26383  cxpcnOLD  26705  efrlimOLD  26930  dipcn  30647  ipasslem7  30763