Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Wrap >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  young2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem young2d 43140
Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 43139. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
young2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
Assertion
Ref Expression
young2d (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d
StepHypRef Expression
1 young2d.0 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 young2d.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
32rpred 12106 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
41, 3rpcxpcld 24713 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
52rpreccld 12116 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6 young2d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
7 young2d.3 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
87rpred 12106 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
96, 8rpcxpcld 24713 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
107rpreccld 12116 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11 young2d.4 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
124, 5, 9, 10, 11amgmw2d 43139 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
132rpcnd 12108 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
142rpne0d 12111 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1513, 14recidd 11091 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
1615oveq2d 6900 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴𝑐1))
1713, 14reccld 11089 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
181, 3, 17cxpmuld 24717 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
191rpcnd 12108 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019cxp1d 24689 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
2116, 18, 203eqtr3d 2859 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
227rpcnd 12108 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
237rpne0d 12111 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ≠ 0)
2422, 23recidd 11091 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
2524oveq2d 6900 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵𝑐1))
2622, 23reccld 11089 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
276, 8, 26cxpmuld 24717 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
286rpcnd 12108 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2928cxp1d 24689 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐1) = 𝐵)
3025, 27, 293eqtr3d 2859 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
3121, 30oveq12d 6902 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
324rpcnd 12108 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
3332, 13, 14divrecd 11099 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
349rpcnd 12108 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
3534, 22, 23divrecd 11099 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
3633, 35oveq12d 6902 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
3736eqcomd 2823 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
3812, 31, 373brtr3d 4886 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  cle 10370   / cdiv 10979  +crp 12066  𝑐ccxp 24539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ioc 12418  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-fac 13301  df-bc 13330  df-hash 13358  df-word 13530  df-concat 13532  df-s1 13533  df-s2 13837  df-shft 14050  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-limsup 14445  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-ef 15038  df-sin 15040  df-cos 15041  df-pi 15043  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-mhm 17560  df-submnd 17561  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-mulg 17766  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-gim 17923  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-cring 18772  df-oppr 18845  df-dvdsr 18863  df-unit 18864  df-invr 18894  df-dvr 18905  df-drng 18973  df-subrg 19002  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-refld 20180  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-lp 21175  df-perf 21176  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-haus 21354  df-cmp 21425  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cncf 22915  df-limc 23867  df-dv 23868  df-log 24540  df-cxp 24541
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator