Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Wrap >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  young2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem young2d 44886
Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 44885. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
young2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
Assertion
Ref Expression
young2d (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d
StepHypRef Expression
1 young2d.0 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 young2d.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
32rpred 12423 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
41, 3rpcxpcld 25307 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
52rpreccld 12433 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6 young2d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
7 young2d.3 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
87rpred 12423 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
96, 8rpcxpcld 25307 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
107rpreccld 12433 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11 young2d.4 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
124, 5, 9, 10, 11amgmw2d 44885 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
132rpcnd 12425 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
142rpne0d 12428 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1513, 14recidd 11403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
1615oveq2d 7164 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴𝑐1))
1713, 14reccld 11401 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
181, 3, 17cxpmuld 25311 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
191rpcnd 12425 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019cxp1d 25281 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
2116, 18, 203eqtr3d 2862 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
227rpcnd 12425 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
237rpne0d 12428 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ≠ 0)
2422, 23recidd 11403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
2524oveq2d 7164 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵𝑐1))
2622, 23reccld 11401 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
276, 8, 26cxpmuld 25311 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
286rpcnd 12425 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2928cxp1d 25281 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐1) = 𝐵)
3025, 27, 293eqtr3d 2862 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
3121, 30oveq12d 7166 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
324rpcnd 12425 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
3332, 13, 14divrecd 11411 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
349rpcnd 12425 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
3534, 22, 23divrecd 11411 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
3633, 35oveq12d 7166 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
3736eqcomd 2825 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
3812, 31, 373brtr3d 5088 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cle 10668   / cdiv 11289  +crp 12381  𝑐ccxp 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-refld 20741  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-cxp 25133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator