Theorem young2d 49794

Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 49793. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
young2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)

Assertion

Ref	Expression
young2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		young2d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		young2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
4	1, 3	rpcxpcld 26658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
5	2	rpreccld 12965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6		young2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7		young2d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
9	6, 8	rpcxpcld 26658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
10	7	rpreccld 12965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11		young2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
12	4, 5, 9, 10, 11	amgmw2d 49793	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
13	2	rpcnd 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14	2	rpne0d 12960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
15	13, 14	recidd 11913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
16	15	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴↑𝑐1))
17	13, 14	reccld 11911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
18	1, 3, 17	cxpmuld 26662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
19	1	rpcnd 12957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	cxp1d 26631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
21	16, 18, 20	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
22	7	rpcnd 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
23	7	rpne0d 12960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
24	22, 23	recidd 11913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
25	24	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵↑𝑐1))
26	22, 23	reccld 11911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
27	6, 8, 26	cxpmuld 26662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
28	6	rpcnd 12957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	cxp1d 26631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐1) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
31	21, 30	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
32	4	rpcnd 12957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℂ)
33	32, 13, 14	divrecd 11921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
34	9	rpcnd 12957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℂ)
35	34, 22, 23	divrecd 11921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
36	33, 35	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
37	36	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))
38	12, 31, 37	3brtr3d 5126	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169   / cdiv 11795  ℝ⁺crp 12911  ↑_𝑐ccxp 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-refld 21530  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482

This theorem is referenced by: (None)