Theorem young2d 50161

Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 50160. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
young2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)

Assertion

Ref	Expression
young2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		young2d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		young2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
4	1, 3	rpcxpcld 26710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
5	2	rpreccld 12971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6		young2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7		young2d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
9	6, 8	rpcxpcld 26710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
10	7	rpreccld 12971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11		young2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
12	4, 5, 9, 10, 11	amgmw2d 50160	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
13	2	rpcnd 12963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14	2	rpne0d 12966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
15	13, 14	recidd 11924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
16	15	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴↑𝑐1))
17	13, 14	reccld 11922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
18	1, 3, 17	cxpmuld 26714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
19	1	rpcnd 12963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	cxp1d 26683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
21	16, 18, 20	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
22	7	rpcnd 12963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
23	7	rpne0d 12966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
24	22, 23	recidd 11924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
25	24	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵↑𝑐1))
26	22, 23	reccld 11922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
27	6, 8, 26	cxpmuld 26714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
28	6	rpcnd 12963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	cxp1d 26683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐1) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
31	21, 30	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
32	4	rpcnd 12963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℂ)
33	32, 13, 14	divrecd 11932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
34	9	rpcnd 12963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℂ)
35	34, 22, 23	divrecd 11932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
36	33, 35	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
37	36	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))
38	12, 31, 37	3brtr3d 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917  ↑_𝑐ccxp 26532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-refld 21572  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-cxp 26534

This theorem is referenced by: (None)