![]() |
Mathbox for Kunhao Zheng |
< Previous
Wrap >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > young2d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Young's inequality for ๐ = 2, a direct application of amgmw2d 47337. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
young2d.0 | โข (๐ โ ๐ด โ โ+) |
young2d.1 | โข (๐ โ ๐ โ โ+) |
young2d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ+) |
young2d.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ+) |
young2d.4 | โข (๐ โ ((1 / ๐) + (1 / ๐)) = 1) |
Ref | Expression |
---|---|
young2d | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โค (((๐ดโ๐๐) / ๐) + ((๐ตโ๐๐) / ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | young2d.0 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ+) | |
2 | young2d.1 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ+) | |
3 | 2 | rpred 12962 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
4 | 1, 3 | rpcxpcld 26103 | . . 3 โข (๐ โ (๐ดโ๐๐) โ โ+) |
5 | 2 | rpreccld 12972 | . . 3 โข (๐ โ (1 / ๐) โ โ+) |
6 | young2d.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ+) | |
7 | young2d.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ+) | |
8 | 7 | rpred 12962 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
9 | 6, 8 | rpcxpcld 26103 | . . 3 โข (๐ โ (๐ตโ๐๐) โ โ+) |
10 | 7 | rpreccld 12972 | . . 3 โข (๐ โ (1 / ๐) โ โ+) |
11 | young2d.4 | . . 3 โข (๐ โ ((1 / ๐) + (1 / ๐)) = 1) | |
12 | 4, 5, 9, 10, 11 | amgmw2d 47337 | . 2 โข (๐ โ (((๐ดโ๐๐)โ๐(1 / ๐)) ยท ((๐ตโ๐๐)โ๐(1 / ๐))) โค (((๐ดโ๐๐) ยท (1 / ๐)) + ((๐ตโ๐๐) ยท (1 / ๐)))) |
13 | 2 | rpcnd 12964 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
14 | 2 | rpne0d 12967 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ 0) |
15 | 13, 14 | recidd 11931 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท (1 / ๐)) = 1) |
16 | 15 | oveq2d 7374 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ดโ๐(๐ ยท (1 / ๐))) = (๐ดโ๐1)) |
17 | 13, 14 | reccld 11929 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 / ๐) โ โ) |
18 | 1, 3, 17 | cxpmuld 26107 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ดโ๐(๐ ยท (1 / ๐))) = ((๐ดโ๐๐)โ๐(1 / ๐))) |
19 | 1 | rpcnd 12964 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
20 | 19 | cxp1d 26077 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ดโ๐1) = ๐ด) |
21 | 16, 18, 20 | 3eqtr3d 2781 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ดโ๐๐)โ๐(1 / ๐)) = ๐ด) |
22 | 7 | rpcnd 12964 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
23 | 7 | rpne0d 12967 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ 0) |
24 | 22, 23 | recidd 11931 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท (1 / ๐)) = 1) |
25 | 24 | oveq2d 7374 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ตโ๐(๐ ยท (1 / ๐))) = (๐ตโ๐1)) |
26 | 22, 23 | reccld 11929 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 / ๐) โ โ) |
27 | 6, 8, 26 | cxpmuld 26107 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ตโ๐(๐ ยท (1 / ๐))) = ((๐ตโ๐๐)โ๐(1 / ๐))) |
28 | 6 | rpcnd 12964 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
29 | 28 | cxp1d 26077 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ตโ๐1) = ๐ต) |
30 | 25, 27, 29 | 3eqtr3d 2781 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ตโ๐๐)โ๐(1 / ๐)) = ๐ต) |
31 | 21, 30 | oveq12d 7376 | . 2 โข (๐ โ (((๐ดโ๐๐)โ๐(1 / ๐)) ยท ((๐ตโ๐๐)โ๐(1 / ๐))) = (๐ด ยท ๐ต)) |
32 | 4 | rpcnd 12964 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ดโ๐๐) โ โ) |
33 | 32, 13, 14 | divrecd 11939 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ดโ๐๐) / ๐) = ((๐ดโ๐๐) ยท (1 / ๐))) |
34 | 9 | rpcnd 12964 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ตโ๐๐) โ โ) |
35 | 34, 22, 23 | divrecd 11939 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ตโ๐๐) / ๐) = ((๐ตโ๐๐) ยท (1 / ๐))) |
36 | 33, 35 | oveq12d 7376 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ดโ๐๐) / ๐) + ((๐ตโ๐๐) / ๐)) = (((๐ดโ๐๐) ยท (1 / ๐)) + ((๐ตโ๐๐) ยท (1 / ๐)))) |
37 | 36 | eqcomd 2739 | . 2 โข (๐ โ (((๐ดโ๐๐) ยท (1 / ๐)) + ((๐ตโ๐๐) ยท (1 / ๐))) = (((๐ดโ๐๐) / ๐) + ((๐ตโ๐๐) / ๐))) |
38 | 12, 31, 37 | 3brtr3d 5137 | 1 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โค (((๐ดโ๐๐) / ๐) + ((๐ตโ๐๐) / ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 โค cle 11195 / cdiv 11817 โ+crp 12920 โ๐ccxp 25927 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9582 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 ax-addf 11135 ax-mulf 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7618 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-supp 8094 df-tpos 8158 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-2o 8414 df-er 8651 df-map 8770 df-pm 8771 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9309 df-fi 9352 df-sup 9383 df-inf 9384 df-oi 9451 df-card 9880 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-z 12505 df-dec 12624 df-uz 12769 df-q 12879 df-rp 12921 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13274 df-ioc 13275 df-ico 13276 df-icc 13277 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-fl 13703 df-mod 13781 df-seq 13913 df-exp 13974 df-fac 14180 df-bc 14209 df-hash 14237 df-word 14409 df-concat 14465 df-s1 14490 df-s2 14743 df-shft 14958 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-limsup 15359 df-clim 15376 df-rlim 15377 df-sum 15577 df-ef 15955 df-sin 15957 df-cos 15958 df-pi 15960 df-struct 17024 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-starv 17153 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-ip 17156 df-tset 17157 df-ple 17158 df-ds 17160 df-unif 17161 df-hom 17162 df-cco 17163 df-rest 17309 df-topn 17310 df-0g 17328 df-gsum 17329 df-topgen 17330 df-pt 17331 df-prds 17334 df-xrs 17389 df-qtop 17394 df-imas 17395 df-xps 17397 df-mre 17471 df-mrc 17472 df-acs 17474 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-mhm 18606 df-submnd 18607 df-grp 18756 df-minusg 18757 df-mulg 18878 df-subg 18930 df-ghm 19011 df-gim 19054 df-cntz 19102 df-cmn 19569 df-abl 19570 df-mgp 19902 df-ur 19919 df-ring 19971 df-cring 19972 df-oppr 20054 df-dvdsr 20075 df-unit 20076 df-invr 20106 df-dvr 20117 df-drng 20199 df-subrg 20234 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-fbas 20809 df-fg 20810 df-cnfld 20813 df-refld 21025 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-cld 22386 df-ntr 22387 df-cls 22388 df-nei 22465 df-lp 22503 df-perf 22504 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-haus 22682 df-cmp 22754 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-fil 23213 df-fm 23305 df-flim 23306 df-flf 23307 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-cncf 24257 df-limc 25246 df-dv 25247 df-log 25928 df-cxp 25929 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |