Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Wrap >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  young2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem young2d 49036
Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 49035. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
young2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
Assertion
Ref Expression
young2d (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d
StepHypRef Expression
1 young2d.0 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 young2d.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
32rpred 13075 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
41, 3rpcxpcld 26790 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
52rpreccld 13085 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6 young2d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
7 young2d.3 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
87rpred 13075 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
96, 8rpcxpcld 26790 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
107rpreccld 13085 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11 young2d.4 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
124, 5, 9, 10, 11amgmw2d 49035 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
132rpcnd 13077 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
142rpne0d 13080 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1513, 14recidd 12036 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
1615oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴𝑐1))
1713, 14reccld 12034 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
181, 3, 17cxpmuld 26794 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
191rpcnd 13077 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019cxp1d 26763 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
2116, 18, 203eqtr3d 2783 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
227rpcnd 13077 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
237rpne0d 13080 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ≠ 0)
2422, 23recidd 12036 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
2524oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵𝑐1))
2622, 23reccld 12034 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
276, 8, 26cxpmuld 26794 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
286rpcnd 13077 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2928cxp1d 26763 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐1) = 𝐵)
3025, 27, 293eqtr3d 2783 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
3121, 30oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
324rpcnd 13077 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
3332, 13, 14divrecd 12044 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
349rpcnd 13077 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
3534, 22, 23divrecd 12044 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
3633, 35oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
3736eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
3812, 31, 373brtr3d 5179 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294   / cdiv 11918  +crp 13032  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator