Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Wrap >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  young2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem young2d 48316
Description: Young's inequality for ๐‘› = 2, a direct application of amgmw2d 48315. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
young2d.0 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
young2d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
young2d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
young2d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„+)
young2d.4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1)
Assertion
Ref Expression
young2d (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) / ๐‘ƒ) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) / ๐‘„)))

Proof of Theorem young2d
StepHypRef Expression
1 young2d.0 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 young2d.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
32rpred 13056 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
41, 3rpcxpcld 26687 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
52rpreccld 13066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
6 young2d.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
7 young2d.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„+)
87rpred 13056 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
96, 8rpcxpcld 26687 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐‘„) โˆˆ โ„+)
107rpreccld 13066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„+)
11 young2d.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1)
124, 5, 9, 10, 11amgmw2d 48315 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ)โ†‘๐‘(1 / ๐‘ƒ)) ยท ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„)โ†‘๐‘(1 / ๐‘„))) โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))))
132rpcnd 13058 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
142rpne0d 13061 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
1513, 14recidd 12023 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) = 1)
1615oveq2d 7442 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ))) = (๐ดโ†‘๐‘1))
1713, 14reccld 12021 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
181, 3, 17cxpmuld 26691 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ))) = ((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ)โ†‘๐‘(1 / ๐‘ƒ)))
191rpcnd 13058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2019cxp1d 26660 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘1) = ๐ด)
2116, 18, 203eqtr3d 2776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ)โ†‘๐‘(1 / ๐‘ƒ)) = ๐ด)
227rpcnd 13058 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
237rpne0d 13061 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
2422, 23recidd 12023 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„)) = 1)
2524oveq2d 7442 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘(๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐ตโ†‘๐‘1))
2622, 23reccld 12021 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
276, 8, 26cxpmuld 26691 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘(๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„)โ†‘๐‘(1 / ๐‘„)))
286rpcnd 13058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2928cxp1d 26660 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘1) = ๐ต)
3025, 27, 293eqtr3d 2776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„)โ†‘๐‘(1 / ๐‘„)) = ๐ต)
3121, 30oveq12d 7444 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ)โ†‘๐‘(1 / ๐‘ƒ)) ยท ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„)โ†‘๐‘(1 / ๐‘„))) = (๐ด ยท ๐ต))
324rpcnd 13058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
3332, 13, 14divrecd 12031 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) / ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) ยท (1 / ๐‘ƒ)))
349rpcnd 13058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐‘„) โˆˆ โ„‚)
3534, 22, 23divrecd 12031 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) / ๐‘„) = ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)))
3633, 35oveq12d 7444 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) / ๐‘ƒ) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) / ๐‘„)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))))
3736eqcomd 2734 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))) = (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) / ๐‘ƒ) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) / ๐‘„)))
3812, 31, 373brtr3d 5183 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐‘ƒ) / ๐‘ƒ) + ((๐ตโ†‘๐‘๐‘„) / ๐‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287   / cdiv 11909  โ„+crp 13014  โ†‘๐‘ccxp 26509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-cxp 26511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator