Theorem young2d 50990

Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 50989. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
young2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)

Assertion

Ref	Expression
young2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		young2d.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		young2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
4	1, 3	rpcxpcld 27061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
5	2	rpreccld 13174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6		young2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7		young2d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
9	6, 8	rpcxpcld 27061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
10	7	rpreccld 13174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11		young2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
12	4, 5, 9, 10, 11	amgmw2d 50989	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
13	2	rpcnd 13166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14	2	rpne0d 13169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
15	13, 14	recidd 12088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
16	15	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴↑𝑐1))
17	13, 14	reccld 12086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
18	1, 3, 17	cxpmuld 27065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
19	1	rpcnd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	cxp1d 27034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
21	16, 18, 20	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
22	7	rpcnd 13166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
23	7	rpne0d 13169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
24	22, 23	recidd 12088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
25	24	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵↑𝑐1))
26	22, 23	reccld 12086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
27	6, 8, 26	cxpmuld 27065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
28	6	rpcnd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	cxp1d 27034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐1) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
31	21, 30	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵↑𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
32	4	rpcnd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℂ)
33	32, 13, 14	divrecd 12096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
34	9	rpcnd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℂ)
35	34, 22, 23	divrecd 12096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
36	33, 35	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
37	36	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵↑𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))
38	12, 31, 37	3brtr3d 5135	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴↑𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵↑𝑐𝑄) / 𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  ↑_𝑐ccxp 26883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885

This theorem is used by: (None)