Theorem fprodadd2cncf 45207

Description: 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodadd2cncf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodadd2cncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodadd2cncf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodadd2cncf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fprodadd2cncf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodadd2cncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodadd2cncf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥)))
3		fprodadd2cncf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 24673	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7		fprodadd2cncf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fprodadd2cncf.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + 𝑥))
10	8, 9	add2cncf 45203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11	4	cncfcn1 24805	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	10, 12	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 + 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14	3, 4, 6, 7, 13	fprodcn 44901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15	2, 14	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	16	eqcomd 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = (ℂ–cn→ℂ))
18	15, 17	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  ℂcc 11122   + caddc 11127  ∏cprod 15867  TopOpenctopn 17388  ℂ_fldccnfld 21259  TopOnctopon 22786   Cn ccn 23102  –cn→ccncf 24770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772

This theorem is referenced by:  fprodaddrecnncnvlem  45210