Theorem fprodsub2cncf 45943

Description: 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsub2cncf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsub2cncf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsub2cncf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsub2cncf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fprodsub2cncf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsub2cncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsub2cncf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥)))
3		fprodsub2cncf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 24692	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7		fprodsub2cncf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fprodsub2cncf.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝑥))
10	8, 9	sub2cncfd 45942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11	4	cncfcn1 24826	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	10, 12	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 − 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14	3, 4, 6, 7, 13	fprodcn 45640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15	2, 14	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	16	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = (ℂ–cn→ℂ))
18	15, 17	eleqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999   − cmin 11339  ∏cprod 15805  TopOpenctopn 17320  ℂ_fldccnfld 21286  TopOnctopon 22820   Cn ccn 23134  –cn→ccncf 24791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-prod 15806  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793

This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnvlem  45945