Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coe1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1id 44731
 Description: Coefficient vector of the unit polynomial. (Contributed by AV, 9-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1id.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1id.i 𝐼 = (1r𝑃)
coe1id.0 0 = (0g𝑅)
coe1id.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1id (𝑅 ∈ Ring → (coe1𝐼) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem coe1id
StepHypRef Expression
1 coe1id.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2822 . . . . 5 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
3 coe1id.1 . . . . 5 1 = (1r𝑅)
4 coe1id.i . . . . 5 𝐼 = (1r𝑃)
51, 2, 3, 4ply1scl1 20919 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘ 1 ) = 𝐼)
65eqcomd 2828 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = ((algSc‘𝑃)‘ 1 ))
76fveq2d 6656 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (coe1𝐼) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )))
8 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 3ringidcl 19312 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10 coe1id.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
111, 2, 8, 10coe1scl 20914 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))
129, 11mpdan 686 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))
137, 12eqtrd 2857 1 (𝑅 ∈ Ring → (coe1𝐼) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ifcif 4439   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  0cc0 10526  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  0gc0g 16704  1rcur 19242  Ringcrg 19288  algSccascl 20539  Poly1cpl1 20804  coe1cco1 20805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-ple 16576  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-ascl 20542  df-psr 20592  df-mvr 20593  df-mpl 20594  df-opsr 20596  df-psr1 20807  df-vr1 20808  df-ply1 20809  df-coe1 20810 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator