Theorem coe1id 48512

Description: Coefficient vector of the unit polynomial. (Contributed by AV, 9-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1id.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1id.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝑃)
coe1id.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1id.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1id	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝐼) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝑥, 1

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem coe1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1id.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
3		coe1id.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		coe1id.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	ply1scl1 22210	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘ 1 ) = 𝐼)
6	5	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = ((algSc‘𝑃)‘ 1 ))
7	6	fveq2d 6834	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝐼) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )))
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 3	ringidcl 20187	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10		coe1id.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	1, 2, 8, 10	coe1scl 22204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))
12	9, 11	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))
13	7, 12	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝐼) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 1 , 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6488  0cc0 11015  ℕ₀cn0 12390  Basecbs 17124  0_gc0g 17347  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  algSccascl 21793  Poly₁cpl1 22092  coe₁cco1 22093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-hash 14242  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-prds 17355  df-pws 17357  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mhm 18695  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18985  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-subrng 20465  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-ascl 21796  df-psr 21850  df-mvr 21851  df-mpl 21852  df-opsr 21854  df-psr1 22095  df-vr1 22096  df-ply1 22097  df-coe1 22098

This theorem is referenced by: (None)