Theorem coe1tmfv1 21555

Description: Nonzero coefficient of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmfv1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)

Proof of Theorem coe1tmfv1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	coe1tm 21554	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
9	8	fveq1d 6836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐷))
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
11		iftrue 4487	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = 𝐶)
12		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
13		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
14	10, 11, 12, 13	fvmptd3 6963	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐷) = 𝐶)
15	9, 14	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4481   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  ℕ₀cn0 12343  Basecbs 17014   ·_𝑠 cvsca 17068  0_gc0g 17252  ._gcmg 18801  mulGrpcmgp 19819  Ringcrg 19882  var₁cv1 21457  Poly₁cpl1 21458  coe₁cco1 21459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7604  df-ofr 7605  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-supp 8057  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-ixp 8766  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-fsupp 9236  df-oi 9376  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-seq 13832  df-hash 14155  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-tset 17083  df-ple 17084  df-0g 17254  df-gsum 17255  df-mre 17397  df-mrc 17398  df-acs 17400  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-mhm 18532  df-submnd 18533  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-mulg 18802  df-subg 18853  df-ghm 18933  df-cntz 19024  df-cmn 19488  df-abl 19489  df-mgp 19820  df-ur 19837  df-ring 19884  df-subrg 20131  df-lmod 20235  df-lss 20304  df-psr 21222  df-mvr 21223  df-mpl 21224  df-opsr 21226  df-psr1 21461  df-vr1 21462  df-ply1 21463  df-coe1 21464

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  21557  coe1tmmul  21558  deg1tm  25393  ply1remlem  25437  fta1blem  25443