Theorem elrgspnlem3 33248

Description: Lemma for elrgspn 33250. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
elrgspnlem1.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnlem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑆,𝑔,𝑤   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem elrgspnlem3

Dummy variables 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
2		fveq1 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑔‘𝑤) = ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤))
3	2	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
4	3	mpteq2dv 5244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
5	4	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
6	5	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
7		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0))
8		zex 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ℤ ∈ V)
10		elrgspn.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10	fvexi 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13		elrgspn.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	12, 13	ssexd 5324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
15		wrdexg 14562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ∈ V)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Word 𝐴 ∈ V)
18		1zzd 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
19		0zd 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
20	18, 19	ifclda 4561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) ∈ ℤ)
21	20	fmpttd 7135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)):Word 𝐴⟶ℤ)
22	9, 17, 21	elmapdd 8881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
23	22	elexd 3504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V)
24	21	ffund 6740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)))
25		0zd 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
26		snfi 9083	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin)
28		eldifsni 4790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩}) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
30	29	neneqd 2945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
31	30	iffalsed 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
32	31, 17	suppss2 8225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})
33		suppssfifsupp 9420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V ∧ Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ({⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin ∧ ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
34	23, 24, 25, 27, 32, 33	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
35	7, 22, 34	elrabd 3694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
36		elrgspn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
37	35, 36	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ 𝐹)
38		eqeq2 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥 ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
39		eqeq2 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = 𝑤)
42		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
43	41, 42	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
44	43	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 1)
45		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
46		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
47	40, 44, 45, 46	fvmptd2 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 1)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
49	48	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩))
50	13	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
53	52, 10	mgpbas 20142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
54	53	gsumws1 18851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
56	49, 55	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = 𝑥)
57	47, 56	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (1 · 𝑥))
58		elrgspn.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.g‘𝑅)
59	10, 58	mulg1 19099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
60	51, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
61	57, 60	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥)
62		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
63	62	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
64	63	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩ ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
65	64	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
66	65	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
67		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
68		0zd 12625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
69	40, 66, 67, 68	fvmptd2 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 0)
70	69	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
71		elrgspn.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
72	52	ringmgp 20236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
74	73	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑀 ∈ Mnd)
75		sswrd 14560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
76	13, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
78	77	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
80	53	gsumwcl 18852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
81	74, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
82		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
83	10, 82, 58	mulg0 19092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
85	70, 84	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
86	38, 39, 61, 85	ifbothda 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))
87	86	mpteq2dva 5242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
88	87	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))))
89		ringmnd 20240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
90	71, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
91	90	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
92		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
93	92	s1cld 14641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
94		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))
95	13, 10	sseqtrdi 4024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
96	95	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
97	82, 91, 17, 93, 94, 96	gsummptif1n0 19984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
98	88, 97	eqtr2d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
99	6, 37, 98	rspcedvdw 3625	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
100	1, 99, 92	elrnmptd 5974	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
101		elrgspnlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
102	100, 101	eleqtrrdi 2852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
103	102	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
104	103	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  Fun wfun 6555  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155  1c1 11156  ℤcz 12613  Word cword 14552  ⟨“cs1 14633  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  RingSpancrgspn 20610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-s1 14634  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33249