Theorem elrgspnlem3 33275

Description: Lemma for elrgspn 33277. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
elrgspnlem1.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnlem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑆,𝑔,𝑤   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem elrgspnlem3

Dummy variables 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
2		fveq1 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑔‘𝑤) = ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤))
3	2	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
4	3	mpteq2dv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
5	4	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
6	5	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
7		breq1 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0))
8		zex 12495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ℤ ∈ V)
10		elrgspn.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10	fvexi 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13		elrgspn.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	12, 13	ssexd 5267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
15		wrdexg 14445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ∈ V)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Word 𝐴 ∈ V)
18		1zzd 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
19		0zd 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
20	18, 19	ifclda 4513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) ∈ ℤ)
21	20	fmpttd 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)):Word 𝐴⟶ℤ)
22	9, 17, 21	elmapdd 8776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
23	22	elexd 3462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V)
24	21	ffund 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)))
25		0zd 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
26		snfi 8978	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin)
28		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩}) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
30	29	neneqd 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
31	30	iffalsed 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
32	31, 17	suppss2 8140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})
33		suppssfifsupp 9281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V ∧ Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ({⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin ∧ ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
34	23, 24, 25, 27, 32, 33	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
35	7, 22, 34	elrabd 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
36		elrgspn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
37	35, 36	eleqtrrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ 𝐹)
38		eqeq2 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥 ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
39		eqeq2 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
40		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = 𝑤)
42		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
43	41, 42	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
44	43	iftrued 4485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 1)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
46		1zzd 12520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
47	40, 44, 45, 46	fvmptd2 6947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 1)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
49	48	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩))
50	13	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
53	52, 10	mgpbas 20078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
54	53	gsumws1 18761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
56	49, 55	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = 𝑥)
57	47, 56	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (1 · 𝑥))
58		elrgspn.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.g‘𝑅)
59	10, 58	mulg1 19009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
60	51, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
61	57, 60	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥)
62		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
63	62	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
64	63	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩ ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
65	64	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
66	65	iffalsed 4488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
67		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
68		0zd 12498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
69	40, 66, 67, 68	fvmptd2 6947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 0)
70	69	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
71		elrgspn.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
72	52	ringmgp 20172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
74	73	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑀 ∈ Mnd)
75		sswrd 14443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
76	13, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
78	77	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
80	53	gsumwcl 18762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
81	74, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
82		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
83	10, 82, 58	mulg0 19002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
85	70, 84	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
86	38, 39, 61, 85	ifbothda 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))
87	86	mpteq2dva 5189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
88	87	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))))
89		ringmnd 20176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
90	71, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
91	90	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
92		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
93	92	s1cld 14525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
94		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))
95	13, 10	sseqtrdi 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
96	95	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
97	82, 91, 17, 93, 94, 96	gsummptif1n0 19893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
98	88, 97	eqtr2d 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
99	6, 37, 98	rspcedvdw 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
100	1, 99, 92	elrnmptd 5910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
101		elrgspnlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
102	100, 101	eleqtrrdi 2845	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
103	102	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
104	103	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4477  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881   finSupp cfsupp 9262  0cc0 11024  1c1 11025  ℤcz 12486  Word cword 14434  ⟨“cs1 14517  Basecbs 17134  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20166  RingSpancrgspn 20541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-word 14435  df-s1 14518  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-mgp 20074  df-ring 20168

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33276