Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrgspnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrgspnlem3 33248
Description: Lemma for elrgspn 33250. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elrgspn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x · = (.g𝑅)
elrgspn.n 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a (𝜑𝐴𝐵)
elrgspnlem1.1 𝑆 = ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
Assertion
Ref Expression
elrgspnlem3 (𝜑𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑆,𝑔,𝑤   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem elrgspnlem3
Dummy variables 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
2 fveq1 6905 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑔𝑤) = ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤))
32oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
43mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
54oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
65eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
7 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0))
8 zex 12622 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ℤ ∈ V)
10 elrgspn.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝑅)
1110fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ V)
13 elrgspn.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
1412, 13ssexd 5324 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ V)
15 wrdexg 14562 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝐴 ∈ V)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → Word 𝐴 ∈ V)
18 1zzd 12648 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
19 0zd 12625 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
2018, 19ifclda 4561 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) ∈ ℤ)
2120fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)):Word 𝐴⟶ℤ)
229, 17, 21elmapdd 8881 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
2322elexd 3504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V)
2421ffund 6740 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)))
25 0zd 12625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ ℤ)
26 snfi 9083 . . . . . . . . . 10 {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin)
28 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩}) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
3029neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
3130iffalsed 4536 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
3231, 17suppss2 8225 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})
33 suppssfifsupp 9420 . . . . . . . . 9 ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V ∧ Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ({⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin ∧ ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
3423, 24, 25, 27, 32, 33syl32anc 1380 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
357, 22, 34elrabd 3694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
36 elrgspn.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
3735, 36eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ 𝐹)
38 eqeq2 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥 ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅))))
39 eqeq2 2749 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑅) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅) ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅))))
40 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = 𝑤)
42 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
4341, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
4443iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 1)
45 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
46 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
4740, 44, 45, 46fvmptd2 7024 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 1)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
4948oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩))
5013sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑥𝐵)
52 elrgspn.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5352, 10mgpbas 20142 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝑀)
5453gsumws1 18851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
5649, 55eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = 𝑥)
5747, 56oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (1 · 𝑥))
58 elrgspn.x . . . . . . . . . . . . 13 · = (.g𝑅)
5910, 58mulg1 19099 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6051, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6157, 60eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥)
62 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
6362notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
6463biimparc 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩ ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
6564adantll 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
6665iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
67 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
68 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
6940, 66, 67, 68fvmptd2 7024 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 0)
7069oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
71 elrgspn.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7252ringmgp 20236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7473ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑀 ∈ Mnd)
75 sswrd 14560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
7613, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
7877sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
8053gsumwcl 18852 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
8174, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
82 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8310, 82, 58mulg0 19092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8570, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8638, 39, 61, 85ifbothda 4564 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅)))
8786mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅))))
8887oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅)))))
89 ringmnd 20240 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9071, 89syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
9190adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
92 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
9392s1cld 14641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
94 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅)))
9513, 10sseqtrdi 4024 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
9695sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
9782, 91, 17, 93, 94, 96gsummptif1n0 19984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g𝑅)))) = 𝑥)
9888, 97eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
996, 37, 98rspcedvdw 3625 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑔𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
1001, 99, 92elrnmptd 5974 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
101 elrgspnlem1.1 . . . 4 𝑆 = ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
102100, 101eleqtrrdi 2852 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
103102ex 412 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥𝑆))
104103ssrdv 3989 1 (𝜑𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155  1c1 11156  cz 12613  Word cword 14552  ⟨“cs1 14633  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  RingSpancrgspn 20610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-s1 14634  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232
This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33249
  Copyright terms: Public domain W3C validator