Theorem elrgspnlem3 33872

Description: Lemma for elrgspn 33874. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
elrgspnlem1.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnlem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑆,𝑔,𝑤   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑤, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem elrgspnlem3

Dummy variables 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
2		fveq1 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑔‘𝑤) = ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤))
3	2	oveq1d 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
4	3	mpteq2dv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
5	4	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
6	5	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ↔ 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
7		breq1 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0))
8		zex 12726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ℤ ∈ V)
10		elrgspn.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	10	fvexi 6919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13		elrgspn.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	12, 13	ssexd 5290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
15		wrdexg 14693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ∈ V)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Word 𝐴 ∈ V)
18		1zzd 12751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
19		0zd 12729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
20	18, 19	ifclda 4521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ Word 𝐴) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) ∈ ℤ)
21	20	fmpttd 7136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)):Word 𝐴⟶ℤ)
22	9, 17, 21	elmapdd 8886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
23	22	elexd 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V)
24	21	ffund 6733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)))
25		0zd 12729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
26		snfi 9096	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin)
28		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩}) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → 𝑣 ≠ ⟨“𝑥”⟩)
30	29	neneqd 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
31	30	iffalsed 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ (Word 𝐴 ∖ {⟨“𝑥”⟩})) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
32	31, 17	suppss2 8242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})
33		suppssfifsupp 9396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ V ∧ Fun (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ({⟨“𝑥”⟩} ∈ Fin ∧ ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) supp 0) ⊆ {⟨“𝑥”⟩})) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
34	23, 24, 25, 27, 32, 33	syl32anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) finSupp 0)
35	7, 22, 34	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
36		elrgspn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
37	35, 36	eleqtrrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) ∈ 𝐹)
38		eqeq2 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥 ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
39		eqeq2 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)) → ((((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
40		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0)) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))
41		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = 𝑤)
42		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
43	41, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
44	43	iftrued 4493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 1)
45		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
46		1zzd 12751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 1 ∈ ℤ)
47	40, 44, 45, 46	fvmptd2 7022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 1)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩)
49	48	oveq2d 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩))
50	13	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
53	52, 10	mgpbas 20392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
54	53	gsumws1 19060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
55	51, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg ⟨“𝑥”⟩) = 𝑥)
56	49, 55	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) = 𝑥)
57	47, 56	oveq12d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (1 · 𝑥))
58		elrgspn.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.g‘𝑅)
59	10, 58	mulg1 19317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
60	51, 59	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
61	57, 60	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = 𝑥)
62		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
63	62	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩ ↔ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩))
64	63	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩ ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
65	64	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → ¬ 𝑣 = ⟨“𝑥”⟩)
66	65	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) ∧ 𝑣 = 𝑤) → if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0) = 0)
67		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
68		0zd 12729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 0 ∈ ℤ)
69	40, 66, 67, 68	fvmptd2 7022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) = 0)
70	69	oveq1d 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
71		elrgspn.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
72	52	ringmgp 20492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
73	71, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
74	73	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑀 ∈ Mnd)
75		sswrd 14691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
76	13, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
78	77	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
80	53	gsumwcl 19061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
81	74, 79, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
82		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
83	10, 82, 58	mulg0 19310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
84	81, 83	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
85	70, 84	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = ⟨“𝑥”⟩) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g‘𝑅))
86	38, 39, 61, 85	ifbothda 4524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))
87	86	mpteq2dva 5201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))))
88	87	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))))
89		ringmnd 20497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
90	71, 89	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
91	90	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
92		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
93	92	s1cld 14774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
94		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))
95	13, 10	sseqtrdi 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
96	95	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
97	82, 91, 17, 93, 94, 96	gsummptif1n0 20207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑤 = ⟨“𝑥”⟩, 𝑥, (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
98	88, 97	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (((𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑣 = ⟨“𝑥”⟩, 1, 0))‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
99	6, 37, 98	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑥 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
100	1, 99, 92	elrnmptd 5951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
101		elrgspnlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
102	100, 101	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
103	102	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
104	103	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656  Fun wfun 6549  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998   finSupp cfsupp 9378  0cc0 11224  1c1 11225  ℤcz 12717  Word cword 14682  ⟨“cs1 14766  Basecbs 17413  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  Ringcrg 20486  RingSpancrgspn 20889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-word 14683  df-s1 14767  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-mgp 20388  df-ring 20488

This theorem is used by:  elrgspnlem4  33873