Theorem dihmeetcl 39613

Description: Closure of closed subspace meet for DVecH vector space. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeetcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihmeetcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihmeetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihmeetcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihmeetcl.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihcnvid2 39541	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
4	3	adantrr 714	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
5	1, 2	dihcnvid2 39541	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
6	5	adantrl 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
7	4, 6	ineq12d 4160	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
8		simpl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 1, 2	dihcnvcl 39539	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	10	adantrr 714	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12	9, 1, 2	dihcnvcl 39539	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
13	12	adantrl 713	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
15	9, 14, 1, 2	dihmeet 39611	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
17		hllat 37630	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐾 ∈ Lat)
19	9, 14	latmcl 18255	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
20	18, 11, 13, 19	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
21	9, 1, 2	dihcl 39538	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
22	20, 21	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋)(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
23	16, 22	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
24	7, 23	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3897  ^◡ccnv 5619  ran crn 5621  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  meetcmee 18127  Latclat 18246  HLchlt 37617  LHypclh 38252  DIsoHcdih 39496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-lsatoms 37243  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767  df-lvols 37768  df-lines 37769  df-psubsp 37771  df-pmap 37772  df-padd 38064  df-lhyp 38256  df-laut 38257  df-ldil 38372  df-ltrn 38373  df-trl 38427  df-tendo 39023  df-edring 39025  df-disoa 39297  df-dvech 39347  df-dib 39407  df-dic 39441  df-dih 39497

This theorem is referenced by:  dihmeet2  39614  dihoml4c  39644  dochdmj1  39658  lclkrlem2c  39777  lclkrlem2d  39778